[論文レビュー] Stochastic Nonparabolic dissipative systems modeling the flow of Liquid Crystals: Strong solution

Zdzisław Brzeźniak, Erika Hausenblas+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、ランダムな揺らぎを受けるネマチック・液体結晶をモデル化する非放物型散乱系に対する、局所的・最大的・グローバルな強い解の存在および一意性を確立する。確率的PDEの枠組みにおいて固定点法を用い、2次元ではエネルギー関数の制御によりグローバル存在を証明するが、3次元では解析的制約のため局所解に限られる。

ABSTRACT

In this paper we present some mathematical results obtained from the analysis of a stochastic evolution equation which basically describes a Ginzburg-Landau approximation of the system governing the nematic liquid crystals under the influence of fluctuating eternal forces. We mainly prove the existence and uniqueness of local a maximal nd global strong solution to the problem. Here strong solution is understood in the sense of stochastic calculus and PDEs. By a fixed point argument we firstly prove a general result which enables us to establish the existence of local and maximal solution to an abstract nonlinear stochastic evolution equations. Secondly, we show that our problem falls within the previous general framework. Therefore we are able to establish the existence and uniqueness of local and maximal strong solution for both 2D and 3D case. In the 2D case we prove nonexplosion of the maximal solution by a method based on a choice of an appropriate energy functionals. Thus the existence of a unique global strong solution in the 2D case.

研究の動機と目的

• ランダムな外部力が作用するネマチック・液体結晶の動的挙動を、確率的Ginzburg-Landau近似として分析すること。
• 確率的積分とPDEの観点から、強い解の存在および一意性を確立すること。
• 2次元および3次元における最大解が爆発を示さないかどうか、すなわちグローバル存在が保証されるかを特定すること。
• 複雑な流体モデルに適用可能な非線形確率的進化方程式の一般枠組みを構築すること。
• 数学的物理における散乱確率的系の理論的理解を拡張すること。

提案手法

• 適切な関数空間における固定点法を用いて、抽象的非線形確率的進化方程式に対して一般の存在および一意性結果を導出する。
• その枠組みを、乗法的ノイズを伴うネマチック・液体結晶をモデル化する具体的な確率的系に適用する。
• 2次元の場合、解の成長を制御し爆発を防ぐために、慎重に選ばれたエネルギー関数が用いられる。
• エネルギー関数法は、事前推定と伊藤の公式に依存し、解の時間的有界性を保証する。
• 3次元の場合、非線形項の制御が不十分であるため、この方法では局所解しか得られない。
• 解の正則性と可積分性を保証するために、L2空間およびソボレフ型空間の両方で解析が行われる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムな外力が作用するネマチック・液体結晶をモデル化する非放物型確率的系に対して、強い解が存在するか？
• RQ2 2次元における最大解が、有限時間内に爆発を示さずグローバルに存在するかを示せるか？
• RQ3 2次元および3次元の両設定において、強い解の一意性を保証する条件は何か？
• RQ4 エネルギー関数の選択が、2次元におけるグローバル存在証明にどのように影響するか？
• RQ5 一般の固定点枠組みが、他の確率的散乱PDEにどの程度応用可能か？

主な発見

• 固定点法を用いて、抽象的非線形確率的進化方程式のクラスに対して一般の存在および一意性結果が確立された。
• 具体的な液体結晶モデルは、この一般枠組みに含まれており、抽象的結果の適用が可能である。
• 2次元の場合、適切なエネルギー関数のおかげで、最大解が非爆発的であることが証明され、グローバル解であることが示された。
• エネルギー関数法は、解の成長を効果的に制御し、2次元におけるグローバル存在を保証した。
• 3次元の場合、非線形項の制御の限界により、局所的かつ最大の強い解しか得られていない。
• 結果として、2次元および3次元におけるネマチック・液体結晶の確率的Ginzburg-Landauモデルの適切な定式化が確認され、2次元ではグローバル解が得られた。