[論文レビュー] Stochastic path integrals can be derived like quantum mechanical path integrals

John J. Vastola, William R. Holmes|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2019

Quantum Mechanics and Applications参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、フォッカー・プランク方程式に従う系のための確率的経路積分を導出するための、量子力学にインspiredされた形式的枠組みを提示する。この方法により、標準的な量子力学的経路積分技法に類似した、一貫性があり体系的な導出が可能になる。この手法は、マーティン＝シギア＝ローズ＝ヤンセン＝ド・ドミニシスおよびオンサーガー＝マッハループの既存の形式を明確に再現する一方で、変動する定義域、確率的解釈、時間依存性、乗法的ノイズに対応可能であり、確率的力学と量子力学の間の深い数学的類似性を明確にする。

ABSTRACT

Stochastic mechanics---the study of classical stochastic systems governed by things like master equations and Fokker-Planck equations---exhibits striking mathematical parallels to quantum mechanics. In this article, we make those parallels more transparent by presenting a quantum mechanics-like formalism for deriving a path integral description of systems described by stochastic differential equations. Our formalism expediently recovers the usual path integrals (the Martin-Siggia-Rose-Janssen-De Dominicis and Onsager-Machlup forms) and is flexible enough to account for different variable domains (e.g. real line versus compact interval), stochastic interpretations, arbitrary numbers of variables, explicit time-dependence, dimensionful control parameters, and more. We discuss the implications of our formalism for stochastic biology.

研究の動機と目的

• フォッカー・プランク方程式のための確率的経路積分を、体系的かつ量子力学にインspiredした方法で導出すること。
• 量子力学的経路積分の導出に類似した形式的枠組みを用いて、確率的力学と量子力学の間の数学的類似性を明確にすること。
• ヤコビアンの計算が煩雑であったり離散化の問題が生じたりする既存手法の限界を克服するため、より柔軟で一般性の高い枠組みを導入すること。
• 変動する定義域（例：実数直線対コンパクト区間）や確率的解釈が経路積分の構築に与える影響を明らかにすること。
• 任意の変数、時間依存性、次元を持つパラメータを有する系への容易な一般化を可能にすること。

提案手法

• 時間スライスと遷移振幅を用いた、量子力学的経路積分の導出に類似した形式的枠組みを採用する。
• 確率的変数の定義域に適合した運動量固有ケットと位置固有ケットを定義する（例：フーリエ変換、ラプラス変換、またはフーリエ級数変換）。
• フォッカー・プランクハミルトニアンの時間スライスされた指数関数の積として時間発展演算子を表現し、経路積分を構築する。
• 作用に含まれる関数を各時間区間の左端点（$x_j$）で評価する特定の離散化スキームを採用し、一貫性を確保し、曖昧さを回避する。
• 離散化の選択とは独立に、異なる確率的解釈（例：伊藤、ストラトニヴィッチ）を扱えるようにし、経路積分構築における柔軟性を確保する。
• フォッカー・プランク方程式をハミルトニアン形式に写像することで作用を導出し、運動量演算子を $\hat{p} = -\partial/\partial x$ として定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子力学に類似した導出法を用いて、フォッカー・プランク力学のための確率的経路積分を体系的に導出できるか？
• RQ2 変数の定義域の選択（例：$\mathbb{R}$、$[0,\infty)$、コンパクト区間）は、経路積分の構築と関連する運動量演算子にどのように影響を与えるか？
• RQ3 離散化の役割は経路積分作用にどのように関係し、異なる確率的解釈（例：伊藤対ストラトニヴィッチ）とどのように関連するか？
• RQ4 この形式的枠組みは、乗法的ノイズ、時間依存パラメータ、または高次元状態空間を有する系にどのように拡張できるか？
• RQ5 この新しい形式的枠組みにおいて、ドイ＝ペリティ経路積分とフォッカー・プランク経路積分の正確な関係は何か？

主な発見

• この形式的枠組みは、量子力学の導出に類似した方法により、標準的なマーティン＝シギア＝ローズ＝ヤンセン＝ド・ドミニシスおよびオンサーガー＝マッハループの経路積分を成功裏に再現する。
• 時間スライスとフォッカー・プランクハミルトニアンの指数関数の積を用いた経路積分作用が導出され、離散化された作用において関数は $x_j$ で評価される。
• 離散化の選択（$x_j$ と $\bar{x}_j$ の間）が、文献に報告された経路積分形式の違い（例：$f'$ 項の有無・無し）を説明する。
• 運動量演算子 $\hat{p} = -\partial/\partial x$ は自然に出現し、定義域に依存して決定される：$\mathbb{R}$ に対してはフーリエ変換、$[0,\infty)$ に対してはラプラス変換、コンパクト区間に対してはフーリエ級数変換。
• この形式的枠組みは、任意の数の変数、明示的な時間依存性、次元を持つパラメータ、乗法的ノイズを有する系を扱うのに十分な一般性を持つ。
• このアプローチにより、ドイ＝ペリティ経路積分とフォッカー・プランク経路積分の関係が明確になり、ハミルトニアン近似または作用レベルの簡略化によって一方から他方が導出可能であることが示唆される。