[論文レビュー] Stochastic Persistence

Michel Benaı̈m|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 46被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、距離空間上の連続時間マーカフ過程における確率的恒続性と絶滅の一般条件を確立し、H-指数をリャプノフ関数の確率的類似として導入する。適切な条件下で、訪問測度が非絶滅集合上に一意の不変確率測度にほとんど確実に収束することを証明し、SDE や確率的 ODE などの環境ノイズを含むモデルへ古典的恒続性理論を拡張する。

ABSTRACT

Let $(X_t)_{t \geq 0}$ be a continuous time Markov process on some metric space $M,$ leaving invariant a closed subset $M_0 \subset M,$ called the {\em extinction set}. We give general conditions ensuring either "Stochastic persistence" (Part I) : Limit points of the occupation measure are invariant probabilities over $M_+ = M \setminus M_0;$ or "Extinction" (Part II) : $X_t ightarrow M_0$ a.s. In the persistence case we also discuss conditions ensuring the a.s convergence (respectively exponential convergence in total variation) of the occupation measure (respectively the distribution) of $(X_t)$ toward a unique probability on $M_+.$ These results extend and generalize previous results obtained for various stochastic models in population dynamics, given by stochastic differential equations, random differential equations, or pure jump processes.

研究の動機と目的

• 連続時間マーカフ過程に環境ノイズを含む場合の決定的恒続性理論を一般化すること。
• 確率的恒続性（訪問測度の極限点が非絶滅集合に存在する）および絶滅（ほとんど確実に絶滅集合に収束する）の十分条件を確立すること。
• H-指数を通じてリャプノフ関数の理論をマーカフ過程に拡張し、エルゴード性および収束結果を可能にすること。
• 恒続系における訪問測度および分布の収束速度とエルゴード性を分析すること。
• SDE やマーカフスイッチングを伴う確率的ODEを含む、既存の確率的集団モデルの結果を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• マーカフ過程の無限小生成作用素を用いて定義される、リャプノフ関数の確率的類似物としての H-指数を導入する。
• 過程 $X_t$ の生成作用素 $\mathcal{L}$ を用い、リャプノフ関数 $U$ に対して不等式 $\mathcal{L}U \leq -\alpha U + \beta$ を満たす H-指数を定義する。
• ディンキンの公式および伊藤の補題を用いてモーメントの上限を導出し、爆発時刻 $\tau^x = \infty$ がほとんど確実に成り立つことを証明する。
• フェラー連続性および半群論を用いて、$P_t f(x) = \mathbb{E}[f(X_t^x)]$ の収束および過程の正則性を確立する。
• 非コンパクト状態空間への拡張のために、切断およびcompactly supported 近似 ($W_n = nB(W/n)$) を用いる。
• ハルナックの不等式およびエルゴード性理論を適用し、訪問測度が $M_+$ 上に一意の不変確率測度にほとんど確実に収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 距離空間上の連続時間マーカフ過程が、訪問測度の極限点が非絶滅集合 $M_+$ に存在するという意味で確率的恒続性を示すのは、どのような条件下か？
• RQ2 過程がほとんど確実に絶滅集合 $M_0$ に収束するのはいつか？ そして、その絶滅を保証する条件は何か？
• RQ3 エルゴード性および訪問測度の収束を保証するため、リャプノフ型関数をマーカフ過程にどのように一般化できるか？
• RQ4 恒続系において、訪問測度および分布が不変確率測度 $M_+$ にほとんど確実かつ指数的収束する速度は何か？
• RQ5 H-指数は古典的リャプノフ指数とどのように関係し、確率的生態モデルにおける恒続性を特徴付ける役割を果たすか？

主な発見

• ある $C^2$ 関数 $U$ が存在して $\mathcal{L}U \leq -\alpha U + \beta$ を満たす $\alpha > 0$ であれば、過程は爆発せず、ほとんど確実に $\tau^x = \infty$ である。
• 半群 $P_t$ は $P_t U(x) \leq e^{-\alpha t}(U(x) - \beta/\alpha) + \beta/\alpha$ を満たし、一様なモーメント上限が得られる。
• H-指数の条件下で、$X_t$ の訪問測度はほとんど確実に $M_+$ 上の一意の不変確率測度に収束する。
• $\psi \in C_c^2(M)$ に対して、$\lim_{t \to 0} \frac{P_t \psi(x) - \psi(x)}{t} = \mathcal{L}\psi(x)$ が成り立ち、$\psi \in \mathcal{D}(\mathcal{L})$ であることが確認される。
• 過程 $X_t$ はフェラー連続性を満たし、強マルコフ性および遷移確率の正則性が保証される。
• 凹かつ非減少関数 $h$ に対して、関数 $W = h(U)$ は $\mathcal{L}W \leq -\alpha h'(U) U(1 + \varphi) + \beta h'(1)$ を満たし、キャレ・デュ・チャンプ $\Gamma_L(W)$ の制御が可能になる。