[論文レビュー] Stochastic phase-field modeling of brittle fracture: computing multiple crack patterns and their probabilities

Tymofiy Gerasimov, Ulrich Römer+3 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2020

Numerical methods in engineering参考文献 84被引用数 42

ひとこと要約

本稿では、変分エネルギー関数に確率的摂動を適用することで、複数の可能な亀列パターンとその確率を計算する確率的相場モデルを提案する。モンテカルロサンプリングを用いてランダムフィールドをサンプリングすることで、亀列パターンの空間的相関を捉え、中間的な亀列状態に基づく条件付き確率を可能にし、相場法による破壊モデリングにおける決定論的で一意でない解の代替として確率論的枠組みを提供する。

ABSTRACT

In variational phase-field modeling of brittle fracture, the functional to be minimized is not convex, so that the necessary stationarity conditions of the functional may admit multiple solutions. The solution obtained in an actual computation is typically one out of several local minimizers. Evidence of multiple solutions induced by small perturbations of numerical or physical parameters was occasionally recorded but not explicitly investigated in the literature. In this work, we focus on this issue and advocate a paradigm shift, away from the search for one particular solution towards the simultaneous description of all possible solutions (local minimizers), along with the probabilities of their occurrence. Inspired by recent approaches advocating measure-valued solutions (Young measures as well as their generalization to statistical solutions) and their numerical approximations in fluid mechanics, we propose the stochastic relaxation of the variational brittle fracture problem through random perturbations of the functional. We introduce the concept of stochastic solution, with the main advantage that point-to-point correlations of the crack phase fields in the underlying domain can be captured. These stochastic solutions are represented by random fields or random variables with values in the classical deterministic solution spaces. In the numerical experiments, we use a simple Monte Carlo approach to compute approximations to such stochastic solutions. The final result of the computation is not a single crack pattern, but rather several possible crack patterns and their probabilities. The stochastic solution framework using evolving random fields allows additionally the interesting possibility of conditioning the probabilities of further crack paths on intermediate crack patterns.

研究の動機と目的

• 非凸エネルギー関数による非一意な解の問題に対処する。これは、非凸エネルギー関数に起因する局所的最小解が複数存在するためである。
• 標準的手法が解の不確実性を定量化しないまま、唯一の亀列パターンしか返さないという制限を克服する。
• 亀列パターンを確率的場として表現する確率的解法フレームワークを開発し、空間的相関を捉え、異なる亀列経路の確率を定量化する。
• 進行中の亀列状態に基づいて、亀列確率を条件づけることで、変化する破壊プロセスのリアルタイム評価を可能にする。
• 確率的アプローチが、メッシュや幾何的摂動に対して決定論的解に比べて感受性が低いことを示す。

提案手法

• エネルギー関数に確率的摂動を加えることで、変分的破壊問題の確率的緩和を導入する。
• 確率的解を、古典的解空間に値をとる確率的場として定義し、亀列パターンとその不確実性を表現可能にする。
• モンテカルロサンプリングを用いて、実現のアンサンブルから統計的モーメントと亀列パターンの確率を近似する。
• 核密度推定を用いて、直線との亀列交差の確率密度関数を計算し、条件付き確率の更新を可能にする。
• 分離表現と確率的場の定式化を活用して、相場における空間的相関を効率的にモデル化する。
• ベイズの定理を用いた条件づけ戦略を実装し、観測された中間的な亀列構造に基づいて、特定の亀列タイプの確率を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相場法による破壊において、非一意な複数の亀列パターンを、確率に基づいて体系的に定量化・順位付けすることは可能か？
• RQ2 エネルギー関数に対する確率的摂動が、破壊経路の安定的かつ代表的な確率的記述をもたらすか？
• RQ3 相場における空間的相関が、計算された亀列確率の信頼性と物理的整合性にどの程度影響を与えるか？
• RQ4 亀列の進行に伴い、亀列確率はどのように変化するか？また、部分的に発達した亀列状態に基づいて更新可能か？
• RQ5 確率的解法の概念は、メッシュ生成や幾何的摂動といった数値アーティファクトに対して、決定論的ソルバーに比べて感受性が低いか？

主な発見

• η = 0.01 および M = 200 のモンテカルロサンプルを用いたアンチプレーンシアテストにおいて、3つの異なる亀列タイプの確率はそれぞれ p₁ = 0.325、p₂ = 0.335、p₃ = 0.340 であり、ほぼ等しい発生確率であることが示された。
• 摂動の大きさを η = 0.02 に増加させた場合、確率はわずかに変化し、p₁ = 0.30、p₂ = 0.33、p₃ = 0.37 となった。これは物理的に期待されるように、摂動の種別に依存することを確認した。
• 条件付き確率解析の結果、n = 9 ステップ目で左にずれる亀列は、n = 11 時点でタイプ1の確率が約0.5からほぼゼロにまで低下しており、初期の亀列ずれに強く依存することが示された。
• 初期に右にずれる亀列の場合、n = 11 時点で穴を通過する確率が顕著に低下しており、初期段階の形状が最終的な亀列経路の確率に強く影響することが示された。
• 確率的解法フレームワークは、相場における空間的相関を効果的に捉えており、標準的なヤング測度では不可能な条件付き確率の更新を可能にした。
• 数値結果から、確率的解法は決定論的解法に比べて数値的設定の変更に対して感受性が低く、実用的により高いロバスト性を示すことが示唆された。