[論文レビュー] Stochastic quantization of Liouville conformal field theory

Tadahiro Oh, Tristan Robert+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 44被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、任意の genus を持つコンpactなリーマン面上で空間時間白色雑音を伴う確率的非線形熱方程式のほとんど確実な大域的適定性および測度不変性を確立し、$L^2$ 範囲（$0 < \beta < \sqrt{2}$）におけるリーマン面の任意の genus に対して、リーマン・量子重力（LQG）測度の統一的構成を提供する。LQG 測度が滑らかな近似スキームに依存しないことを証明し、既存の結果を球面およびトーラスに限らず、より高次の genus を持つ曲面へと拡張する。

ABSTRACT

We study a nonlinear stochastic heat equation forced by a space-time white noise on closed surfaces, with nonlinearity $e^{βu}$. This equation corresponds to the stochastic quantization of the Liouville quantum gravity (LQG) measure. (i) We first revisit the construction of the LQG measure in Liouville conformal field theory (LCFT) in the $L^2$ regime $0 1$ respectively. Moreover, our argument shows that this measure is independent of the approximation procedure for a large class of smooth approximations. (ii) We prove almost sure global well-posedness of the parabolic stochastic dynamics, and invariance of the measure under this stochastic flow. In particular, our results improve previous results obtained by Garban (2020) in the cases of the sphere and the torus with their canonical metric, and are new in the case of closed surfaces with higher genus.

研究の動機と目的

• 閉じた曲面の genus 0, 1, および >1 のすべての曲面上で、$L^2$ 範囲（$0 < \beta < \sqrt{2}$）において、リーマン・量子重力（LQG）測度の構成を統一的かつ一般化すること。
• コンパクトなリーマン多様体上の確率的非線形熱方程式が空間時間白 noise を伴う場合の、ほとんど確実な大域的適定性を確立すること。
• LQG 測度がその動的によって生成される確率的フローに関して不変であることの証明。
• LQG 測度が広いクラスの近似法における滑らかな近似手順の選択に依存しないことの証明。
• 従来、球面およびトーラスに限定されていた結果を、より高次の genus を持つ曲面へと拡張すること。

提案手法

• リーマン・自己共形場理論（LCFT）の確率的量子化を、指数非線形性 $e^{\beta u}$ と空間時間白 noise を伴う放物型確率的 PDE として再定式化する。
• ガウス型乗法的カオス（GMC）理論を用いて、正則化された指数関数的関数の極限として LQG 測度を構成する。
• コンパクト多様体上でのシュードラ推移作用素理論とスカウダー推移作用素理論を用い、非線形項を制御し、解の正則性を保証する。
• キャンマ-マーティン理論とモーザー＝トゥルディンガー型不等式を用いて、測度摂動下でのギブス測度の挙動を分析する。
• 事前推定とコンパクト性の議論を用いて、確率的熱方程式の解のほとんど確実な大域的存在および一意性を証明する。
• 解の法が任意の時刻 $t \geq 0$ で初期の LQG 測度と一致することを示すことにより、測度不変性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン・量子重力（LQG）測度は、$L^2$ 範囲において、任意の genus を持つコンパクトなリーマン面に対して一様に構成可能か？
• RQ2 一般のコンパクト曲面上で、空間時間白 noise を伴う非線形確率的熱方程式の確率的量子化ダイナミクスは、ほとんど確実に大域的に適定可能か？
• RQ3 LQG 測度は、その動的によって生成される確率的フローに関して不変か？
• RQ4 LQG 測度は、雑音および場の滑らかな近似手順の選択に依存しないか？
• RQ5 球面およびトーラスにおける既存の結果は、より高次の genus を持つ曲面へと拡張可能か？

主な発見

• LQG 測度は、任意の genus を持つすべてのコンパクトで閉じた向き付け可能なリーマン面において、$L^2$ 範囲 $0 < \beta < \sqrt{2}$ で一様に構成可能であり、従来の genus 0, 1, および >1 の結果を統合する。
• 任意のコンパクトなリーマン面上で、確率的非線形熱方程式は、すべての $t \geq 0$ に対してほとんど確実に大域的に適定可能であり、従来の結果をより高次の genus を持つ曲面へと拡張する。
• LQG 測度は、その動的によって生成される確率的フローに関して不変であり、任意の時刻 $t \geq 0$ における解の法が初期の LQG 測度と一致する。
• LQG 測度は、スペクトル切断に基づく近似を含む広いクラスの近似法に対して、その選択に依存しない。
• この構成は、計量の共形変換に対して頑健であり、多様体上の内因的幾何解析に依存する。
• 本稿では、$\nu < 0$ の場合、ホーエグ・クローンの分配関数が発散することを証明し、負の宇宙定数の範囲ではギブス測度が存在しないことを示している。