[論文レビュー] Stochastic recursions: between Kesten's and Grey's assumptions

Ewa Damek, Bartosz Kołodziejek|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{E}|A|^\alpha = 1$ および $B$ が指数 $-\alpha < 0$ で正規化された変動を示す条件下で、$X_n = A_nX_{n-1} + B_n$ および $X_n = \max\{A_nX_{n-1}, B_n\}$ の形の確率的再帰の定常解の尾挙動を分析する。これは、Kesten や Grey 型の条件の下で古典的な結果を拡張し、定常分布の正確な漸近的尾挙動を確立する。

ABSTRACT

We study the stochastic recursions $X_n = A_nX_{n-1}+B_n$ and $X_n = \max \{A_nX_{n-1},B_n\}$, where $(A_n,B_n)\in \mathbb{R} imes \mathbb{R} $ is an i.i.d sequence of random vectors and $X_0$ is an arbitrary initial distribution independent of $(A_n,B_n)_{n\geq 1}$. The tail behavior of their stationary solutions is well known under the so called Kesten-Grincevi\'{c}ius-Goldie or Grey conditions. We describe the tail when $\mathbb{E} |A|^{\alpha}=1$ and the tail of $B$ is regularly varying with index $-\alpha<0$.

研究の動機と目的

• インノベーション分布の尾が正規化された変動を示す場合に、確率的再帰の定常解の尾挙動を理解すること。
• 既存の Kesten-Grincevičius-Goldie および Grey 型の結果を、$\mathbb{E}|A|^\alpha = 1$ および $B$ が指数 $-\alpha < 0$ で正規化された変動を示す場合にまで拡張すること。
• これらの一般化されたモーメント条件および尾条件の下で、定常分布の尾の正確な漸近的減衰率を特定すること。

提案手法

• i.i.d. な $(A_n, B_n)$ を有する確率的再帰 $X_n = A_nX_{n-1} + B_n$ および $X_n = \max\{A_nX_{n-1}, B_n\}$ の分析。
• 定常分布の尾挙動を分析するための正規化された変動理論の使用。
• 尾の減衰の臨界インデックスを特定するために、$\mathbb{E}|A|^\alpha = 1$ という重要な条件の適用。
• $B$ の尾インデックスと $A$ のモーメント条件との相互作用を用いて、正確な漸近的尾確率を導出する。
• 一般化されたモーメントおよび尾の仮定の下で、Kesten や Grey の既知の結果を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{E}|A|^\alpha = 1$ および $B$ が指数 $-\alpha < 0$ で正規化された変動を示す場合に、定常分布の正確な漸近的尾挙動は何か？
• RQ2 $\mathbb{E}|A|^\alpha = 1$ の下で一般化された Kesten-Goldie 条件が成り立つ場合、定常解の尾はどのように振る舞うか？
• RQ3 $A$ のモーメント条件と $B$ の正規化された変動が、定常解の尾インデックスをどのように共同で決定するか？

主な発見

• 条件 $\mathbb{E}|A|^\alpha = 1$ および指数 $-\alpha < 0$ で正規化された変動を示す $B$ の下で、確率的再帰の定常分布は指数 $-\alpha$ で正規化された変動を示す。
• 正確な漸近的尾確率は、$A$ の分布に依存する係数による $B$ の尾の定数倍で特徴づけられる。
• 標準的なモーメント条件ではカバーされない、$\mathbb{E}|A|^\alpha = 1$ である臨界ケースにまで、古典的な Kesten や Grey 型の結果を拡張している。
• 初期分布 $X_0$ が $(A_n, B_n)$ と独立であれば、その選択にかかわらず尾挙動は安定である。