[論文レビュー] Stochastic Representations for Solutions to Parabolic Dirichlet Problems for Nonlocal Bellman Equations

Ruoting Gong, Chenchen Mou+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2017

Stochastic processes and financial applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有界領域における退化型ハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）積分微分方程式（積分PDE）の粘性解に対して、確率的表現公式を確立し、その唯一の粘性解が関連する確率的最適制御問題の価値関数に一致することを証明する。証明は近似技術、粘性解理論、および出退時間とリーヴィ過程の詳細な解析に依拠しており、動的計画法の原則が主要な結果として得られる。

ABSTRACT

We prove a stochastic representation formula for the viscosity solution of Dirichlet terminal-boundary value problem for a degenerate Hamilton-Jacobi-Bellman integro-partial differential equation in a bounded domain. We show that the unique viscosity solution is the value function of the associated stochastic optimal control problem. We also obtain the dynamic programming principle for the associated stochastic optimal control problem in a bounded domain.

研究の動機と目的

• 有界領域におけるディリクレ型終端・境界条件を満たす退化型HJB積分PDEの粘性解に対する確率的表現公式を確立すること。
• 唯一の粘性解が関連する確率的最適制御問題の価値関数に一致することを証明すること。
• 有界領域における確率的制御問題の動的計画法の原則を厳密に導出し、先行研究における技術的ギャップを解消すること。
• 非退化型、有限制御、滑らかに近似された方程式を用いた近似法によって、有界領域の課題を扱うこと。

提案手法

• 係数の列を用いて、制御集合が有限で、データが滑らかな方程式を用いて、元の退化型HJB積分PDEをわずかに拡大された領域上での非退化型方程式に近似する。
• バリア関数とカットオフ技術を用いて、粘性上位解および下位解を構築し、一様連続性と境界の一致性を保証する。
• ペロンの方法を用いて元の式の粘性解を得た後、近似極限を介してそれが価値関数性を満たすことを検証する。
• 文献[31]における積分PDEの粘性解理論を応用し、領域のやや滑らかな正則性仮定と境界における非退化性に依拠する。
• リーヴィ駆動型拡散過程の出退時間と挙動を解析し、境界効果を制御し、近似の収束を保証する。
• 一様有界性と粘性解の安定性を用いて、検証条件を検証することで、動的計画法の原則を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界領域における退化型HJB積分PDEの唯一の粘性解は、確率的最適制御問題の価値関数として表現可能か？
• RQ2 ディリクレ境界条件を満たす有界領域におけるリーヴィ過程によって駆動される確率的制御問題の動的計画法の原則は成立するか？
• RQ3 非局所作用素が存在する状況下で、境界データおよび終端条件を満たす一様な粘性上位解および下位解をどのように構築できるか？
• RQ4 有界領域における古典解が、元の問題の粘性解に収束するのを保証する近似スキームは何か？
• RQ5 領域および係数に関するどのような正則性および非退化性仮定のもとで、価値関数は連続的であり、HJB積分PDEを満たすのか？

主な発見

• 有界領域における退化型HJB積分PDEのディリクレ型終端・境界値問題の唯一の粘性解は、関連する確率的最適制御問題の価値関数として特定される。
• 確率的表現公式が確立され、解が有界領域内での制御付きジャンプ・拡散過程の期待コスト・トゥーゴーと関連づけられる。
• 動的計画法の原則が、非局所的ダイナミクスを有する有界領域へと既知の結果を拡張して、厳密に証明された。
• 構築された粘性下位解および上位解の一様連続性が、近似パrameterに依存しない形で達成され、極限における安定性が保証された。
• 非退化型、有限制御、滑らかに近似された方程式を用いた、新規な近似スキームに依拠した証明であり、出退時間および過程の挙動に関する精密な推定により収束が確立された。
• 勾配の下界が一様に保証されるバリア関数の構築により、領域境界全域における粘性上位解の性質の有効性が保証された。