[論文レビュー] Stochastic Schrodinger equations

Luc Bouten, Guta, Madalin+1 more|TU/e Research Portal (Eindhoven University of Technology)|Sep 29, 2003

Quantum Information and Cryptography参考文献 36被引用数 41

ひとこと要約

この論文は、量子フィルタリング理論を用いて、開量子系のための確率的シュレーディンガー方程式を導出しており、連続的測定（光子カウントやホモダイン検出など）が、条件付き期待値を介して状態軌道を生成する仕組みを示している。主な貢献は、量子確率的微積分を用いた、これらの方程式の体系的導出であり、2準位原子における共鳴蛍光に対して明示的な結果が得られている。

ABSTRACT

A derivation of stochastic Schrodinger equations is given using quantum filtering theory. We study an open system in contact with its environment, the electromagnetic field. Continuous observation of the field yields information on the system: it is possible to keep track in real time of the best estimate of the system's quantum state given the observations made. This estimate satisfies a stochastic Schrodinger equation, which can be derived from the quantum stochastic differential equation for the interaction picture evolution of system and field together. Throughout the paper we focus on the basic example of resonance fluorescence.

研究の動機と目的

• 量子フィルタリング理論を用いて、確率的シュレーディンガー方程式を厳密かつ初等的に導出すること。
• 標準的量子軌道アプローチとフィルタリングに基づくアプローチとの間の概念的違いを明確にすること。
• 拡散極限を用いて導出した確率的シュレーディンガー方程式と、量子フィルタリングから導出した方程式との等価性を示すこと。
• 任意の開量子系および測定方式に対して、確率的シュレーディンガー方程式を導出する一般化された手順を提示すること。
• 測定プロセス（光子カウント、ホモダイン検出）と、それに対応する系の状態の確率的時間発展との間の関係を確立すること。

提案手法

• 連続的測定記録を前提とした系の観測量の条件付き期待値を計算するために、量子フィルタリング理論を用いる。
• 伊藤テーブルを用いた量子確率的微積分を適用し、系の状態時間発展を記述する確率的微分方程式を導出する。
• 系の状態が場の測定に条件づけられたときの量子フィルタリング方程式（ベラフシン方程式）として、確率的シュレーディンガー方程式を導出する。
• 2つの測定方式を検討する：光子カウント（ジャンプ型ダイナミクス）とホモダイン検出（連続的経路を持つ拡散極限）。
• 2つの独立した経路で方程式を導出する：(1) 拡散極限を伴う標準的量子軌道アプローチ、および (2) 直接的フィルタリング導出。両者の概念的差異を強調する。
• マーカーヴィアン近似と、系と場のユニタリ時間発展を、量子確率的微分方程式を通じて統合的に扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的測定プロセスに基づく開量子系における、確率的シュレーディンガー方程式をどのように体系的に導出できるか？
• RQ2 量子軌道アプローチと量子フィルタリングアプローチの間の、正確な数学的関係は何か？ 両者が系の時間発展を記述する上でどのように異なっているか？
• RQ3 光子カウントとホモダイン検出といった異なる測定方式が、どのように異なる確率的シュレーディンガー方程式を生じるか？
• RQ4 量子確率的微積分は、系の状態の条件付き期待値ダイナミクスを導出する上で、どのように機能するか？
• RQ5 2準位原子の共鳴蛍光において、フィルタリング方程式を物理的観測量と測定プロセスの観点からどのように表現できるか？

主な発見

• 光子カウントのための確率的シュレーディンガー方程式は、カウント過程によって駆動されるジャンプ型方程式として導出され、光子の検出に伴い条件付き状態が比例してジャンプする。
• ホモダイン検出の場合は、確率的シュレーディンガー方程式は拡散型をとる。ノイズ項は光子カウントの拡散極限として得られ、状態空間における連続的経路が得られる。
• 導出された方程式は、以前に予想されたベラフシン方程式と等価であり、物理的および数学的整合性が確認された。
• フィルタリングアプローチの革新点は、ヒューリスティックな極限を避けて、量子確率的微積分を用いて条件付き期待値を直接導出できることにある。
• 条件付き期待値ダイナミクスがマーカーヴィアンであり、測定相互作用に依存する漂移項と拡散項を持つ線形確率的微分方程式によって記述されることを示した。
• 本論文は、測定プロセス（例：$Y_t = X_φ(t)$）とその関連するマルティンゲール $\tilde{Y}_t$ が、方程式における確率的項の構造を決定することを確立した。