[論文レビュー] Stochastic Shortest Paths and Risk Measures

Axel Parmentier, Frédéric Meunier|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2014

Transportation and Mobility Innovations参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、CVaR やテール確率などのリスク指標を用いた確率的最短経路問題に対して、確率的到着時刻問題（SOTA）から導出された確率的下界を用いて、通常の確率的順序に基づく経路の除外によって、多様なネットワークインスタンスにおいて高速に解を得るための効率的アルゴリズムを提案する。SOTAの前処理により得られる高品質な下界を活用することで、通常1秒未塔の高速な実行時間と、優れた下界が得られる。

ABSTRACT

We consider three shortest path problems in directed graphs with random arc lengths. For the first and the second problems, a risk measure is involved. While the first problem consists in finding a path minimizing this risk measure, the second one consists in finding a path minimizing a deterministic cost, while satisfying a constraint on the risk measure. We propose algorithms solving these problems for a wide range of risk measures, which includes among several others the $CVaR$ and the probability of being late. Their performances are evaluated through experiments. One of the key elements in these algorithms is the use of stochastic lower bounds that allow to discard partial solutions. Good stochastic lower bounds are provided by the so-called Stochastic Ontime Arrival Problem. This latter problem is the third one studied in this paper and we propose a new and very efficient algorithm solving it. Complementary discussions on the complexity of the problems are also provided.

研究の動機と目的

• アーク長が確率的変数である確率的最短経路問題を扱い、CVaR やテール確率などのリスク指標を目的関数に含める。
• リソース制約を満たしつつ、経路の所要時間のリスク指標を最小化するアルゴリズムを開発する。
• 確率的到着時刻問題（SOTA）から導出された確率的下界を用いることで、計算効率を向上させる。
• 異なるリスクパラメータとコストパラメータの下で、実世界および合成ネットワークインスタンスにおけるアルゴリズムの性能を評価する。

提案手法

• ラベル設定アルゴリズムの過程で、通常の確率的順序に基づく確率的下界を用いて部分経路を除外する。
• 高品質な下界を提供するための、新しい効率的アルゴリズムを考案し、確率的到着時刻問題（SOTA）を解く。
• アーク所要時間が独立で有限の離散的サポートを持つものと仮定し、CVaR や P(X≥τ) などの遅延ペナルティを伴うリスク指標を対象とする。
• SOTA による前処理と、下界を用いて不適切または劣悪な経路を早期に除外するラベルリングアルゴリズムを組み合わせる。
• リスク指標は、経路に沿った確率的アーク所要時間の和に適用され、ρ(∑Xa) ≤ ρ₀ などの制約のもとで実行可能であることを保証する。
• 計算実験では、CPU 時間、ラベル展開回数、解のコストを用いて性能を評価し、前処理時間が総実行時間の大部分を占める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CVaR やテール確率などのリスク指標を含む確率的最短経路問題を、どのようにして効率的に解けるか？
• RQ2 SOTA から導出された確率的下界を用いることで、経路探索アルゴリズムの除外効率と実行時間にどのような影響を与えるか？
• RQ3 CVaR の β や P(X≥τ) の τ といったリスク指標のパラメータが、アルゴリズムの性能と解の品質に与える影響は何か？
• RQ4 α で制御されるリソース制約の難易度が、解法プロセスのスケーラビリティと実行可能性にどの程度影響を及えるか？
• RQ5 新規に提案する SOTA アルゴリズムは、確率的下界生成の面で、既存手法を上回る速度と解の品質を達成できるか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、全テストインスタンスにおいて、Stochastic ρ-Shortest Path Problem を1分未塔で解き終えることができ、ラベルリングフェーズは通常1秒未塔で完了する。
• 前処理に用いられる確率的到着時刻問題（SOTA）アルゴリズムが、総実行時間の大部分を占めており、性能に果たす重要性が顕著である。
• ラベルリングアルゴリズムが展開するラベル数は常に少なく、SOTA から得られる確率的下界が探索空間の削減に非常に効果的であることが示された。
• P(X≥τ) で p=0.5 の場合、期待所要時間を最小化する経路がしばしばテール確率を最小化する傾向にあり、平均リスクとテールリスクの間に強い相関があることが示唆された。
• Stochastic ρ-Resource Constrained Shortest Path Problem は、制約が厳しめ（α が小さい）な場合に最も良好に動作し、実行可能な経路数が少ないため、除外がより効果的である。
• α=0.02 の場合、P(X≥τ) についてはすべてのインスタンスが正常に解かれたが、CVaRβ についても大多数のインスタンスが解かれた。一方、α が大きくなると、実行可能な経路数が増加し、解法が困難になった。