[論文レビュー] Stochastic sigma-convergence and applications

Mamadou Sango, Jean Louis Woukeng|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2011

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 34被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、周期的およびエルゴード的ホモジゲン化理論を一般化することで、決定的および確率的ホモジゲン化理論を統一する新しい多スケール枠組み「確率的Σ収束」を導入する。この枠組みにより、確率的および決定的ミクロ構造を同時に取り扱うことが可能となり、確率的ストークス方程式に従う回転流体の流れのホモジゲン化に応用される。

ABSTRACT

Motivated by the fact that in nature almost all phenomena behave randomly in some scales and deterministically in some other scales, we build up a framework suitable to tackle both deterministic and stochastic homogenization problems simultaneously, and also separately. Our approach, the stochastic sigma-convergence, can be seen either as a multiscale stochastic approach since deterministic homogenization theory can be seen as a special case of stochastic homogenization theory (see Theorem 3), or as a conjunction of the stochastic and deterministic approaches, both taken globally, but also each separately. One of the main applications of our results is the homogenization of a model of rotating fluids.

研究の動機と目的

• 決定的ホモジゲン化理論と確率的ホモジゲン化理論の間のギャップを埋めるための統一的枠組みの開発。
• 異なるスケールで確率的および決定的挙動を示す物理系の解析を可能にする。
• 従来のホモジゲン化手法（例えば、確率的二尺度収束やΣ収束）を統合的に扱える一元的かつ包括的なアプローチに一般化する。
• 確率的および決定的ミクロ構造を併せ持つ偏微分方程式のホモジゲン化に理論的基盤を提供する。
• 回転流体のように、微視的スケールで確率的および決定的効果が共存するような複雑な系への応用。

提案手法

• 確率的二尺度収束とΣ収束を統合的な確率的設定で組み合わせることで、新しい収束概念「確率的Σ収束」を構築する。
• 抽象的確率空間上の力学系と平均値を備えたホモジゲン化代数を用い、基礎となるミクロ構造の挙動をモデル化する。
• 混合されたランダム性と決定的性質を有する多スケール問題から生じる振動関数を扱うための一般化されたベシコビッチ空間を導入する。
• 適切な関数空間における確率的Σ収束のコンパクト性を確立し、ホモジゲン化問題における極限操作に不可欠な性質を獲得する。
• 平均値を備えた代数から力学系を構成し、エルゴード理論の結果を特別な場合として回復可能にする。
• 係数が決定的および確率的変数に依存する系（例：コリオリ項を有するストークス方程式）に対して、ホモジゲン化方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定的および確率的ホモジゲン化を一つの理論的枠組みに統合する方法は何か？
• RQ2 確率的Σ収束は、古典的Σ収束および確率的二尺度収束を一般化できるか？
• RQ3 確率的および決定的ミクロ構造を併せ持つ多スケールPDEの解の収束を保証する条件は何か？
• RQ4 提案された枠組みは、レイノルズ方程式や回転流体モデルのような非線形的・非周期的問題にどのように適用できるか？
• RQ5 周期的、弱くほぼ周期的、またはフーリエ・スタイリーデス関数の代数に属する係数を持つ系のホモジゲン化極限の構造は何か？

主な発見

• 確率的Σ収束は、Σ収束および確率的二尺度収束を一般化し、決定的ホモジゲン化が特殊ケースとして含まれる。
• この枠組みにより、$ \mathbf{h}^\varepsilon \times \mathbf{u}_\varepsilon $ の形をとるコリオリ項を有するストークス方程式のホモジゲン化が可能である。ここで $ \mathbf{h} $ は確率的であり、$ \mathbf{u}_\varepsilon $ は速度場である。
• ホモジゲン化極限は方程式 $ a(\mathbf{u}, \boldsymbol{\Phi}) + \iint_{Q \times \Omega} (\widetilde{\mathbf{h}} \times \mathbf{u}_0) \cdot \Psi_0 \, dx \, d\mu = \langle \mathbf{f}, \Psi_0 \rangle $ を満たし、コリオリ項の反対称性により一意性が保証される。
• 本手法は、周期的、ほぼ周期的、摂動付きほぼ周期的、弱くほぼ周期的、およびフーリエ・スタイリーデス代数など、さまざまなミクロ構造代数に適用可能である。
• 非線形レイノルズ方程式のホモジゲン化および $ FS(\mathbb{R}^N) $、すなわちフーリエ・スタイリーデス代数に係数を有する系への応用が可能である。
• 確率的Σ収束構造に自然に埋め込まれるため、決定的ホモジゲン化においてエルゴード性の仮定を排除できる。