[論文レビュー] Stochastic state estimation via incremental iterative sparse polynomial chaos based Bayesian-Gauss-Newton-Markov-Kalman filter

Bojana Rosić|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2019

Target Tracking and Data Fusion in Sensor Networks参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、スパース多項式乱数拡張とベイズ推定を用いて、非線形でカオス的である系における確率的状態推定を向上させる、新規の段階的反復ガウス・ニュートン・マークフ・カルマンフィルタを提案する。本フィルタは、擬似測定値と時間適応型多項式乱数拡張を用いて、段階的で予測・補正形式に再定式化することで、高ノイズおよび大きな時間ステップ下でも、サンプリングを要しないロバストな状態推定を達成した。これは、Lorenz-1984系を用いた検証で裏付けられている。

ABSTRACT

In this paper is proposed a novel incremental iterative Gauss-Newton-Markov-Kalman filter method for state estimation of dynamic models given noisy measurements. The mathematical formulation of the proposed filter is based on the construction of an optimal nonlinear map between the observable and parameter (state) spaces via a convergent sequence of linear maps obtained by successive linearisation of the observation operator in a Gauss-Newton-like form. To allow automatic linearisation of the dynamical system in a sparse form, the smoother is designed in a hierarchical setting such that the forward map and its linearised counterpart are estimated in a Bayesian manner given a forecasted data set. To improve the algorithm convergence, the smoother is further reformulated in its incremental form in which the current and intermediate states are assimilated before the initial one, and the corresponding posterior estimates are taken as pseudo-measurements. As the latter ones are random variables, and not deterministic any more, the novel stochastic iterative filter is designed to take this into account. To correct the bias in the posterior outcome, the procedure is built in a predictor-corrector form in which the predictor phase is used to assimilate noisy measurement data, whereas the corrector phase is constructed to correct the mean bias. The resulting filter is further discretised via time-adapting sparse polynomial chaos expansions obtained either via modified Gram-Schmidt orthogonalisation or by a carefully chosen nonlinear mapping, both of which are estimated in a Bayesian manner by promoting the sparsity of the outcomes. The time adaptive basis with non-Gaussian arguments is further mapped to the polynomial chaos one by a suitably chosen isoprobabilistic transformation. Finally, the proposed method is tested on a chaotic nonlinear Lorenz 1984 system.

研究の動機と目的

• 従来のカルマンフィルタが、ノイズのある測定値を伴う高非線形・カオス的系において抱える限界を解消すること。
• ベイズ状態推定におけるモンテカルロ法のサンプリング誤差と遅い収束性を克服すること。
• 非線形状態推定のための、確率的でサンプリングを要しないパーティクルフィルターやアンサンブル法の代替手法を確立すること。
• 段階的擬似時間ステッピングと多項式乱数拡張のベイズ学習を用いることで、収束性と精度を向上させること。
• 高ノイズと稀な観測下でも、Lorenz-84のようなカオス的系における初期状態の回復をロバストに可能にすること。

提案手法

• 本フィルタは、ガウス・ニュートンに類似した逐次線形化を用いて、観測空間と状態空間の間の最適非線形写像を構築する。
• 階層的でスパースな多項式乱数拡張フレームワーク内において、ベイズ的関連ベクトルマシンを用いて、前向き写像とその線形化された対応を推定する。
• 段階的形態では、現在および中間の状態を擬似測定値として統合し、それらを確率的変数として扱うことで、確率的フィルタリングを可能にする。
• 予測・補正構造を採用する：予測部はノイズのある測定値を統合し、補正部は事後推定における平均バイアスを低減する。
• 時間適応型スパース多項式乱数拡張は、修正グラム・シュミット法または非線形等確率的マッピングにより生成され、基底関数はベイズ的手段で推定される。
• 更新式は標準正規変数における多項式乱数拡張を用いて離散化され、サンプリングを要せず、正確かつ効率的な計算が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガウス・ニュートンに基づく反復フィルタは、カオス的系における高非線形性と測定ノイズに対して、どのようにしてロバストに保たれるか？
• RQ2 サンプリングに依存しない非線形状態推定における、決定論的フィルタの収束性と精度を、どのようにして向上させられるか？
• RQ3 ベイズ的多項式乱数拡張を用いた段階的擬似時間ステッピングは、状態推定問題における事後推定をどの程度改善できるか？
• RQ4 完全に決定論的でサンプリングを要しない手法は、カオス的系において、従来のパーティクルフィルターよりもロバスト性と計算効率で優れるか？
• RQ5 スパースで時間適応型の多項式乱数拡張にベイズ学習を適用した場合、状態推定における条件付き期待値近似の精度にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 提案されたフィルタは、高ノイズと大きな時間ステップ下でも、カオス的Lorenz-1984系の初期状態を正常に回復した。
• 本手法はサンプリングを一切行わず、モンテカルロ法に起因するサンプリング誤差を回避するという点で、ロバストな性能を発揮した。
• 段階的擬似時間ステッピングの導入により、状態推定プロセスの収束性と安定性が顕著に向上した。
• 多項式乱数拡張係数のベイズ推定により、スパarsityと適応性が確保され、観測頻度が低くても精度を維持した。
• 修正グラム・シュミット法または非線形マッピングにより生成された時間適応型基底関数は、変動する観測間隔に対しても推定精度を保持した。
• 予測・補正構造は、事後推定における平均バイアスを効果的に低減し、全体的な状態再構築の精度を向上させた。