[論文レビュー] Stochastic Theory of Quantum Mechanics

M. Godart|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2012

Statistical Mechanics and Entropy被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、粒子の軌道をマルコフ拡散過程の標本路としてモデル化することで、非相対論的量子力学の確率的基礎を提唱する。条件付き確率密度が波動関数の代わりに機能する。シュレーディンガー方程式およびネルソン方程式を導出し、漂移係数と拡散係数を決定する。波動関数の収束は物理的過程ではなく、初期条件の更新に起因する誤りであることが示される。

ABSTRACT

The stochastic theory of non-relativistic quantum mechanics presented here relies heavily upon the theory of stochastic processes, with its definitions, theorems and specific vocabulary as well. Its main hypothesis states indeed that the classical trajectories of the particles are identical to the sample functions of a diffusion Markov process, whose conditional probability density is proposed as a substitute for the wave function. The Schroedinger equation and the so-called Nelson equations are used to determine the diffusion tensor and the drift vectors characteristic of such a process. It is then possible to write down the forward and backward Kolmogorov equations that are used to determine the conditional probability density, as well as the Fokker-Planck equation that is used to determine the normal probability density. This method is applied to several simple cases and the results obtained are compared with those of the orthodox theory. Among the most important differences let us mention that any system evolving freely from any original state returns spontaneously to its ground state, that the definitions of the particles velocities and momenta are impossible because the sample functions of a diffusion Markov process nowhere possess a derivative with respect to time and that the so-called collapse of the wave function is a mere mirage explained by the updating choice between new and older initial conditions in the resolution of partial differential equations. We finally attempt to extend the proposed theory to the domain of the relativistic quantum mechanics. It is promising but is clearly unfinished because it has not been possible up to now to solve the Nelson and Kolmogorov equations, except in the very simple case of a free particle.

研究の動機と目的

• 非相対論的量子力学を確率過程を基礎とする枠組みとして再定式化すること。
• 波動関数をマルコフ拡散過程からの条件付き確率密度で置き換えること。
• シュレーディンガー方程式およびネルソン方程式を確率的力学から導出し、標準的量子力学と整合性を確認すること。
• 測定過程、特に波動関数の収束を、偏微分方程式における初期条件の更新の結果として再解釈すること。
• この確率的枠組みを相対論的量子力学に拡張すること。ただし、拡張は未完成のままである。

提案手法

• 粒子の軌道を、条件付き確率密度が波動関数の代わりに機能するマルコフ拡散過程の標本関数としてモデル化する。
• シュレーディンガー方程式およびネルソンの確率力学を用いて、過程の漂移ベクトルおよび拡散テンソルを決定する。
• 前向きおよび後ろ向きのコルモゴロフ方程式を導出し、条件付き確率密度の時間発展を記述する。
• フォッカー・プランク方程式を用いて、過程の通常（周辺）確率密度を決定する。
• 簡単な量子系（例えば自由粒子、調和振動子）にこの枠組みを適用し、標準的量子理論と結果を比較する。
• 確率的形式主義を相対論的量子力学に一般化を試みるが、一般解は得られていない。自由粒子の場合は除く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非相対論的量子力学は、マルコフ拡散過程に基づく確率的過程の枠組みから一貫して導出可能か？
• RQ2 シュレーディンガー方程式およびネルソン方程式は、確率的過程の力学からどのように導かれるか？
• RQ3 この確率的モデル内での波動関数の収束の物理的解釈は何か？
• RQ4 なぜこの確率的モデルにおける軌道は時間微分を持たず、速度および運動量を定義できないのか？その意味は何か？
• RQ5 この確率的形式主義を相対論的量子力学に拡張することは可能か？主な障壁は何か？

主な発見

• 確率的過程の条件付き確率密度が、量子力学における波動関数の直接的な代替として機能する。
• シュレーディンガー方程式およびネルソンの方程式は、確率的力学の結果として導かれる。これにより、量子的挙動が拡散過程と結びつく。
• 確率的モデルでは、任意の初期状態から自由に進化する系が、自発的に基底状態に戻る。これは標準的量子力学には見られない挙動である。
• 標本路がほとんど確実に至るところ微分不可能であるため、粒子の速度および運動量は定義できない。
• いわゆる波動関数の収束は物理的過程ではなく、偏微分方程式の解における初期条件の更新という数学的結果である。
• 相対論的量子力学への拡張は理論的に有望であるが、未だ未解決であり、ネルソンおよびコルモゴロフ方程式の一般解は自由粒子の場合を除き得られていない。