[論文レビュー] Stochastic trajectory optimization for mechanical systems with parametric uncertainties

George I. Boutselis, Yunpeng Pan+2 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2017

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 37被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、一般化された多項式クラウド（gPC）と微分動的プログラミング（DDP）の拡張（gPC-DDP）を用いて、パrametric不確実性を有する機械的システムのための確率的軌道最適化フレームワークを提案する。不確実性を直交多項式展開で表現し、構造保存型積分法を活用することで、不確実性下での高速かつスケーラブルで2次収束性を有する軌道最適化を可能にし、理論的収束保証とシミュレーションでの妥当性を確認した。

ABSTRACT

In this paper we develop a novel, discrete-time optimal control framework for mechanical systems with uncertain model parameters. We consider finite-horizon problems where the performance index depends on the statistical moments of the stochastic system. Our approach constitutes an extension of the original Differential Dynamic Programming method and handles uncertainty through generalized Polynomial Chaos (gPC) theory. The developed iterative scheme is capable of controlling the probabilistic evolution of the dynamic system and can be used in planning and control. Moreover, its scalable and fast converging nature play a key role when dealing with complex, high-dimensional problems. Based on Lagrangian mechanics principles, we also prove that Variational Integrators can be designed to properly propagate and linearize the gPC representations of stochastic, forced mechanical systems in discrete time. We utilize this benefit to further improve the efficiency of our trajectory-optimization methodology. Numerical simulations are included to validate the applicability of our approach.

研究の動機と目的

• 従来の手法が加法的ノイズやガウス分布の状態分布を仮定するのに対し、パrametric不確実性を有する機械的システムにおける軌道最適化の課題に対処すること。
• ノイズ項にのみ不確実性を表現するのではなく、システムパラメータそのものに不確実性を明示的に表現するモデルベース最適制御フレームワークの構築。
• 一般化された多項式クラウド（gPC）理論を用いて、確率的ダイナミクスを扱えるようにDDPを拡張し、正確な統計モーメント伝播を実現すること。
• 変分積分法に基づく構造保存型積分法を用いることで、高次元で複雑な機械的システムに対しても計算効率とスケーラビリティを確保すること。
• 標準的な滑らかさ仮定のもとで、提案された反復的最適化スキームの2次収束保証を提供すること。

提案手法

• 一般化された多項式クラウド（gPC）を用いて、状態およびシステムダイナミクスを確率変数の直交多項式展開として表現し、統計モーメントのシステム内伝播を可能にする。
• 古典的DDPアルゴリズムをgPC係数上で動作させるように拡張し、コストが状態の平均と分散に依存する確率的最適制御問題を定式化する。
• 反復的に価値関数とコスト・トゥ・ゴールの2次近似をgPC展開を用いて計算し、制御方策の効率的かつ安定的な更新を可能にする。
• ラグランジュ力学の原則に基づいて導出された変分積分法により、gPC表現されたダイナミクスの時間積分において幾何的構造を保存する。
• 各反復でgPC表現されたダイナミクスおよびコスト関数を線形化し、リカッチ型方程式を用いた効率的な制御更新の計算を可能にする。
• コスト・トゥ・ゴールのヘッセ行列の標準的滑らかさおよび正定値性仮定のもとで、収束が2次的であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 DDPに基づく最適制御フレームワークは、一般化された多項式クラウド（gPC）表現を用いて、機械的システムのパrametric不確実性を扱えるように拡張可能か？
• RQ2 gPCと構造保存型積分法を用いることで、パrametric不確実性を有する機械的システムの確率的挙動を正確に伝播・制御できるか？
• RQ3 提案されたgPC-DDPアルゴリズムの収束速度は何か？ どのような条件下で2次収束を保証できるか？
• RQ4 離散時間におけるgPC表現された確率的機械的システムの幾何的構造を保存するように、変分積分法に基づく積分法を構築可能か？
• RQ5 ガウス分布仮定や加法的ノイズモデルに依存する従来の確率的最適制御手法と比較して、本手法は効率性および精度において優れているか？

主な発見

• 標準的な滑らかさおよび正定値性条件のもとで、数学的帰納法とテイラー展開を用いた議論により、提案されたgPC-DDP手法が2次収束速度を達成することが証明された。
• 変分積分法を用いて、gPC表現された確率的かつ外力が作用する機械的システムのダイナミクスを、その内在する幾何的構造を保存しながら正確に伝播・線形化した。
• 数値的シミュレーションにより、高次元で非線形な機械的システムに対しても、時間経過に伴うシステム状態の平均と分散を制御可能であることが検証された。
• gPCの使用により、ガウス分布を仮定するモーメントマッチング手法の制限を克服し、パrametric変動に起因する非ガウス的不確実性を正確に表現できた。
• フレームワークはスケーラブルで計算的に効率的であり、不確実性下での複雑なロボットおよび機械的システムの計画に適している。
• 理論的分析により、制御更新ステップが2次的に収束することが確認され、誤差が前回反復の誤差の二乗に定数倍の上界で抑えられることが示された。