[論文レビュー] Stochastic Variational Method as a Quantization Scheme II: Quantization of Electromagnetic Fields

T. Kodama, K. Tsushima|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2014

Quantum Mechanics and Applications参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、正準共轭変数を経由せずにゲージ不変ラグランジアンから直接電磁場を正準化するため、確率的変分法（SVM）を適用する。クーロンゲージではSVMは標準的な正準化を再現する。ローレンツゲージでは、時間的および縦型光子成分を、電荷を帯びた物質による量子揺らぎによって影響を受けるc数関数型として扱うことで、不定計量を回避する。一方、負の相関を持つ確率過程を用いることで、グッパ・ブレーラー形式の不定計量を再現する。

ABSTRACT

Quantization of electromagnetic fields is investigated in the framework of stochastic variational method (SVM). Differently from the canonical quantization, this method does not require canonical form and quantization can be performed directly from the gauge invariant Lagrangian. The gauge condition is used to choose dynamically independent variables. We verify that, in the Coulomb gauge condition, SVM result is completely equivalent to the traditional result. On the other hand, in the Lorentz gauge condition, SVM quantization can be performed without introducing the indefinite metric. The temporal and longitudinal components of the gauge filed, then, behave as c-number functionals affected by quantum fluctuation through the interaction with charged matter fields. To see further the relation between SVM and the canonical quantization, we quantize the usual gauge Lagrangian with the Fermi term and argue a stochastic process with a negative second order correlation is introduced to reproduce the indefinite metric.

研究の動機と目的

• SVMが正準共轭変数を必要とせずに、ゲージ不変ラグランジアンからゲージ場を直接正準化できるかを検証すること。
• SVMが、正準正準化と一致する標準的結果をクーロンゲージで再現できるかを調査すること。
• SVMがローレンツゲージで不定計量を導入することなく、時間的および縦型成分をc数関数型として扱うことで、その処理が可能かどうかを検討すること。
• SVMにおけるグッパ・ブレーラー形式の不定計量をモデル化するための確率過程の概念を拡張すること。
• 特にゲージ対称性およびグリーン関数に関して、SVMの数学的・物理的整合性を検討すること。

提案手法

• 周期的境界条件を伴う3次元空間格子上に電磁ラグランジアン密度を離散化し、場の配置を確率的変数として扱う。
• 前向きおよび後ろ向き時間微分（DおよびD̃）を用いた確率的変分原理を適用し、ゲージ場の確率的オイラー＝ラグランジュ方程式を導出する。
• ゲージ条件（クーロンまたはローレンツ）を課して物理的でない自由度を排除し、力学的変数を特定する。
• 負の2階相関を持つ確率過程を導入し、ローレンツゲージにおける不定計量を模倣する。これにより、負のノルム状態の再現が可能になる。
• ファインマンの因果的境界条件を用いてグリーン関数を計算し、正準結果と整合することを検証する。
• 時間的および縦型光子成分が電荷を帯びた物質場の影響を受けるc数関数型として振る舞う、得られた量子力学的ダイナミクスを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的変分法（SVM）は、正準共轭変数を必要とせずに、ゲージ不変ラグランジアンから電磁場を直接正準化できるか？
• RQ2 SVMはクーロンゲージにおいて正準正準化の標準的結果を再現するか？
• RQ3 SVMはローレンツゲージ条件をどのように処理するのか？また、グッパ・ブレーラー形式で用いられる不定計量を導入することなく、それを回避できるか？
• RQ4 負の2階相関を持つ確率過程を用いて、SVMにおける不定計量をモデル化でき、グッパ・ブレーラー形式の負のノルム状態を再現できるか？
• RQ5 電荷を帯びた物質場は、SVMフレームワーク内でのゲージ場の時間的および縦型成分における量子揺らぎを誘発する役割を果たすか？

主な発見

• クーロンゲージでは、SVMによる正準化が正準正準化と同一の結果をもたらし、従来の手法との整合性を確認した。
• ローレンツゲージでは、ゲージ場の時間的および縦型成分が、電荷を帯びた物質場からの量子揺らぎの影響を受けるc数関数型として振る舞い、不定計量を導入する必要がなくなる。
• 標準的なファインマンプロパゲーターがSVMにおけるグリーン関数として再現され、理論の因果的構造が妥当であることが裏付けられた。
• 負の2階相関を持つ確率過程が導入され、これによりSVM内での不定計量のモデル化が可能になり、負のノルム状態の出現が可能になった。
• 確率的変分的手法は、量子論的レベルでもゲージ対称性を保存しており、基礎的なゲージ構造と整合的であることが示された。
• 確率的変数同士が可換であるため、演算子の順序のあいまいさを回避でき、正準正準化とは対照的に明確な利点を有する。