[論文レビュー] Stochastic variational principles for dissipative equations with advected quantities

Xin Chen, Ana Bela Cruzeiro+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2015

Stochastic processes and financial applications被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、リー群上の確率的系へのラグランジュ対称性還元の拡張を通じて、輸送量を伴う散乱流体方程式の確率的変分原理を開発する。熱力学的仮定を一切用いずに、可撓性ナビエ＝ストークス方程式および磁気流体力学方程式を純粋な変分的および確率的原理から導出する。粘性および輸送量のダイナミクスと関連する保存量を結ぶ、確率的ケルビン＝ノエター定理を確立する。

ABSTRACT

This paper presents symmetry reduction for material stochastic Lagrangian systems with advected quantities whose configuration space is a Lie group. Such variational principles yield deterministic as well as stochastic constrained variational principles for dissipative equations of motion in spatial representation. The general theory is presented for the finite dimensional situation. In infinite dimensions we obtain partial differential equations and stochastic partial differential equations. When the Lie group is, for example, a diffeomorphism group, the general result is not directly applicable but the setup and method suggest rigorous proofs valid in infinite dimensions which lead to similar results. We apply this technique to the compressible Navier-Stokes equation and to magnetohydrodynamics for charged viscous compressible fluids. A stochastic Kelvin-Noether theorem is presented. We derive, among others, the classical deterministic dissipative equations from purely variational and stochastic principles, without any appeal to thermodynamics.

研究の動機と目的

• 輸送量を伴う確率的ラグランジュ系の幾何的枠組みを、対称性還元を用いて開発すること。
• 変分原理を拡張し、流体力学における散乱およびノイズを含める。
• 可撓性流体および磁気流体力学の決定論的および確率的還元方程式を導出すること。
• 保存された循環と粘性および輸送量項を結ぶ、確率的ケルビン＝ノエター定理を確立すること。
• 熱力学的議論に依存せずに、古典的流体方程式を変分原理から回復すること。

提案手法

• 左不変ラグランジアンを用いて、輸送量を伴う系のリー群上での確率的変分原理を定式化する。
• Poincaréの制約付き変分原理を適用し、空間的表現における確率的Euler-Poincaré方程式を導出する。
• リー群上のベクトル場によって駆動される乗法的ノイズを伴うストラトノビッチ微積分を用いて確率過程を導入する。
• 確率的流れの下での循環積分の時間発展を追跡することで、確率的ケルビン＝ノエター定理を導出する。
• リー代数の同型および随伴作用を用いて、運動量および輸送密度の観点から方程式を表現する。
• 本フレームワークを可撓性ナビエ＝ストークス方程式および磁気流体力学に適用し、粘性項が確率性および対称性から生じることを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 熱力学的仮定を用いずに、確率的変分原理を用いて散乱流体方程式を導出可能か？
• RQ2 ラグランジュ枠組みにおけるノイズが、運動方程式に粘性項をどのようにもたらすか？
• RQ3 散乱およびノイズの存在下で、流体循環の確率的ケルビン＝ノエター定理の類似形は何か？
• RQ4 流体流れのような無限次元系において、リー群上の対称性還元をどのように拡張できるか？
• RQ5 輸送量が確率的流体力学において果たす幾何的役割は何か？

主な発見

• 内部エネルギー密度の形を除き、熱力学的入力を一切用いずに、可撓性ナビエ＝ストークス方程式が確率的変分原理から導出された。
• ナビエ＝ストークス方程式の粘性項が、確率的Euler-Poincaré方程式のドリフト項として自然に出現し、特に体積粘性項 ∇div u として特定された。
• 循環積分が輸送量および粘性力を含む確率的微分方程式に従って発展することを示す、確率的ケルビン＝ノエター定理が確立された。
• 一般のリー群に対して確率的Euler-Poincaré方程式が導出され、ラグランジアンおよびリー代数作用の観点からドリフト項および拡散項の明示的表現が得られた。
• 本手法は磁気流体力学に適用可能であり、荷電粒子を有する粘性・可撓性流体の確率的版方程式が得られた。
• 本フレームワークは、ノイズ、散乱、保存則を統合する単一の変分原理として、確率的流体力学の幾何的・変分的基盤を提供する。