[論文レビュー] Stochastic Volterra Equations in Banach Spaces and Stochastic Partial Differential Equations

Xicheng Zhang|ArXiv.org|Dec 4, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特異核を持つ2-滑らかさをもつバナッハ空間における確率的ボルテラ方程式の存在、一意性、および大偏差原理（LDP）を確立し、ブラウン運動および分数 Browm 動作によって駆動される半線形SPDEに応用する。局所リプシッツ条件の下で、一意的な最大強解の存在を証明し、変分表現を用いて2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式の明示的レート関数によるLDPを導出する。

ABSTRACT

In this paper, we first study the existence-uniqueness and large deviation estimate of solutions for stochastic Volterra integral equations with singular kernels in 2-smooth Banach spaces. Then, we apply them to a large class of semilinear stochastic partial differential equations (SPDE) driven by Brownian motions as well as by fractional Brownian motions, and obtain the existence of unique maximal strong solutions (in the sense of SDE and PDE) under local Lipschitz conditions. Lastly, high order SPDEs in a bounded domain of Euclidean space, second order SPDEs on complete Riemannian manifolds, as well as stochastic Navier-Stokes equations are investigated.

研究の動機と目的

• 特異核を持つ確率的ボルテラ方程式が2-滑らかさをもつバナッハ空間において、解の存在、一意性、およびパス連続性を確立すること。
• 微小なノイズ摂動の下で、このような方程式に対するフリードリン＝ウェントセル型の大偏差原理（LDP）を導出すること。
• 抽象的な結果を、ブラウン運動および分数 Browm 動作によって駆動される広範な半線形SPDEのクラスに応用すること。
• 有界領域およびリーマン多様体上におけるSPDEに対して、局所リプシッツ条件の下で一意的な最大強解の存在を証明すること。
• 2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式に対して、変分法を用いて明示的レート関数によるLDPを確立すること。

提案手法

• 関数へのラプラス変換の変分表現に基づく弱収束アプローチを用いる。
• Boué-Dupuisの変分公式およびその簡略化された証明を適用し、最小限のモーメント推定でLDPを導出する。
• 2-滑らかさをもつバナッハ空間内で作業することで、確率積分が適切に定義され、BDG型不等式が適用可能になるようにする。
• 変数の変化の公式を用いて、SPDEを確率的ボルテラ積分方程式に再定式化する。
• 時間離散化およびグロワールド型不等式を用いて、解のノルムを制御し、連続性を証明する。
• 局所リプシッツ係数を取り扱うために、局所非線形補間補題およびパスワイズ推定を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異核を持つ確率的ボルテラ方程式が2-滑らかさをもつバナッハ空間において、連続パスを持つ解の存在と一意性を確立できるか？
• RQ2 このような方程式の微小ノイズ漸近挙動を支配する大偏差原理は何か？
• RQ3 抽象的枠組みを、ブラウン運動および分数 Browm 動作によって駆動されるSPDEに応用可能か？
• RQ4 有界領域およびリーマン多様体上における半線形SPDEは、局所リプシッツ条件の下で一意的な最大強解を有するか？
• RQ5 乗法的ノイズによって駆動される2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式のための大偏差レート関数は何か？

主な発見

• 本稿は、特異核を持つ確率的ボルテラ方程式が2-滑らかさをもつバナッハ空間において、解の存在およびパス連続性を証明する。
• 変分表現を用いてフリードリン＝ウェントセル型の大偏差原理が確立され、必要なのは最小限のモーメント推定のみである。
• この枠組みにより、局所リプシッツ条件の下でブラウン運動によって駆動されるSPDEに対して一意的な最大強解が得られる。
• この手法は、R^d の有界領域における高階SPDEおよび完全なリーマン多様体上の2次方程式に適用可能である。
• 2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式に対しては、LDPが成立し、レート関数は $ I(f) = \frac{1}{2} \inf_{h \in \ell^2_T} \|h\|^2_{\ell^2_T} $ で与えられる。ここで $ f = \mathbf{u}^h $ は制御方程式の解である。
• 解の爆発が起こらないことが証明され、$ \lim_{n \to \infty} \sup_{\epsilon \in (0,1)} P(\tau_n^\epsilon \leq T) = 0 $ の極限が、漸近的パスワイズ安定性を確認する。