[論文レビュー] Stokes' formulae on classical symbol valued forms and applications

Yoshiaki Maeda, Dominique Manchon+1 more|ArXiv.org|Oct 21, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、R^n 上の古典的記号値微分形式に対して、Wodzickiの残留積分と切断積分を拡張し、特定の条件下でそれらがストークス型性質を満たすことを証明している。拡張されたWodzickiの残留積分は2n-サイクルを定義し、複素残留積分のように振る舞う。一方、切断積分は非整数順位の記号に対してのみストークスの性質を満たし、整数順位の場合はコスフィアコホモロジー類によって障害が測定される。

ABSTRACT

The Wodzicki residue and the cut-off integral extend to classical symbol-valued forms. We show that they obey a Stokes' type property and that the extended Wodzicki residue can be interpreted as a complex residue like the ordinary one. In the case of cut-off integrals, Stokes' property (i.e. vanishing on exact forms) only holds for non-integer order symbol-valued forms and leads to an integration by parts formula and translation invariance for cut-off integrals on non-integer order classical symbols. The extended Wodzicki residue yields an even residue cycle on classical symbols and an odd cochain (the cosphere cochain) which measures an obstruction to Stokes' property of the cut-off integral on integer order symbol-valued forms.

研究の動機と目的

• 古典的記号値微分形式の正則化積分に対してストークスの公式を一般化すること。
• 切断積分がストークスの性質を満たす条件を特定すること、特に整数順位と非整数順位の記号の違いを明確にすること。
• 整数順位の記号値形式に対してストークスの性質の障害を、新しいコホモロジー類（コスフィアコホモロジー）を用いて特徴付けること。
• ホロモーフィック族としての記号値形式の文脈において、複素残留積分とWodzicki残留積分との関係を確立すること。
• 記号値形式のホロモーフィック正則化に対してストークスの公式を拡張し、外微分の正則化積分が恒等的に消えることを示すこと。

提案手法

• 左積 ∗ と T*U 上の外微分 d を用いて、古典的記号値形式に拡張されたWodzicki残留積分を定義する。
• 拡張されたWodzicki残留積分がストークスの性質を満たし、コンパクトな台を持つ古典的記号の代数上で2n-サイクルをなすことを証明する。
• 記号値形式のための切断積分を導入し、非整数順位の記号に対してのみストークスの性質を満たすことを示す。
• 整数順位の形式に対して切断積分のストークス性質の障害として、コスフィア (2n−1)-コホモロジーを構成する。
• ホロモーフィック正則化手順を用いて、記号値形式のメロモルフィック族 ω(z) を定義し、∫dω(z) がメロモルフィック関数として恒等的に 0 であることを証明する。
• 複素残留積分の公式：Res_{z=z₀} ∫ω(z) = −1/α′(z₀) · res(ω(z₀)) を確立し、複素残留積分とWodzicki残留積分を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 切断積分が古典的記号値微分形式に対してストークスの性質を満たす条件は何か？
• RQ2 Wodzicki残留積分はどのように記号値微分形式に拡張可能であり、どのような代数的構造を誘導するか？
• RQ3 ホロモーフィック族としての記号値形式の文脈において、複素残留積分とWodzicki残留積分の関係は何か？
• RQ4 整数順位の記号に対してストークスの性質の障害は、代数的にどのように現れるか？
• RQ5 記号値形式のホロモーフィック正則化に対してストークスの公式を拡張可能か？そして、部分積分や不変性への影響は何か？

主な発見

• 拡張されたWodzicki残留積分はストークスの性質を満たし、コンパクトな台を持つ古典的記号の代数上で2n-サイクルを定義する。
• 切断積分は非整数順位の記号値形式に対してのみストークスの性質を満たし、この場合に部分積分と不変性が成立する。
• 整数順位の記号値形式に対してストークスの性質の障害は、一般に非自明なコスフィア (2n−1)-コホモロジーによって測定される。
• 記号値形式の拡張されたWodzicki残留積分は、公式 Res_{z=z₀} ∫ω(z) = −1/α′(z₀) · res(ω(z₀)) を用いて、複素残留積分と一致する。
• 記号値形式のホロモーフィック族 ω(z) に対して、dω(z) の正則化積分は恒等的にメロモルフィック関数として 0 に等しい。
• 記号値形式上のWodzicki残留積分の特徴は、0次擬微分作用素上の標準的な循環コホモロジーに還元される ∗-ホッホシュチルドコホモロジーである。