[論文レビュー] Stokes Multipliers, Spectral Determinants and T-Q relations

Junji Suzuki|ArXiv.org|Sep 4, 2000

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 27被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、多項式ポテンシャルを伴う高階線形ODEと量子群対称性をもつ可積分模型の間の深い対応関係を確立し、ODEにおけるストークス係数と可積分系における転送行列およびQ作用素の対応を示している。主な貢献は、ストークス係数をT-Q関係およびDVF（ドレッシング真空形式）表現と特定することで、関数方程式およびワロンスキー恒等式を介してODEの漸近的解析と可積分模型の構造を統一することにある。

ABSTRACT

Recently, a remarkable correspondence has been unveiled between a certain class of ordinary linear differential equations (ODE) and integrable models. In the first part of the report, we survey the results concerning the 2nd order differential equations, the Schroedinger equation with a polynomial potential. We will observe that fundamental objects in the study of the solvable models, e.g., Baxter's Q- operator, fusion transfer matrices come into play in the analyses on ODE. The second part of the talk is devoted to the generalization to higher order linear differential equations. The correspondence found in the case of the 2nd order ODE is naturally lifted up. We also mention a connection to the discrete soliton theory.

研究の動機と目的

• 高階線形ODEの解と量子群対称性をもつ可積分模型との間の対応関係を確立すること。
• ODEにおけるストークス係数が可積分模型における転送行列およびQ作用素に対応することを示すこと。
• 第二階のODEから高階ODEへのT-Q関係および関数方程式の一般化。
• ODEにおけるスペクトル行列式が可積分模型の統合階層構造に対応することを特定すること。
• ワロンスキー表現およびDVF形式がODEと可積分模型の枠組みを統合する役割を果たすことを探求すること。

提案手法

• 複素解析および領域分割を用いて、多項式ポテンシャルを伴う(n+1)階ODEの漸近的挙動を分析する。
• ストークス係数を複素x平面における隣接する領域における基本解集合間の接続行列として定義する。
• ワロンスキー恒等式および量子ヤコビ・トゥーリ型の公式を用いて、ストークス係数の関数方程式を導出する。
• （非融合）転送行列をストークス係数と同一視することで、ODE/IM対応を直接確立する。
• ストークス係数にDVF（ドレッシング真空形式）表現を適用し、可積分模型におけるそれと類似した普遍性を示す。
• 関数方程式から導かれる積分方程式を用いて、スペクトル行列式および固有値を決定し、熱力学的ベーテアンザッツ形式と一致させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高階ODEにおけるストークス係数は、可積分模型における転送行列とどのように関係するか？
• RQ2 ストークス係数の関数方程式は、ワロンスキー表現から導け、T-Q関係に写像可能か？
• RQ3 ODEにおけるスペクトル行列式は、可積分模型で観察されるDVF構造を継承するか？
• RQ4 ODEの解を用いて可積分模型におけるQ関数を構成する際、隠れた変数xの役割は何か？
• RQ5 ODE/IM対応は、第二階方程式にとどまらず、一般のn+1階ODEへどのように拡張可能か？

主な発見

• n+1階ODEのストークス係数は、U_q(A^{(1)}_n)可積分模型における（非融合）転送行列T^{(1)}_1(λq)に一致する。
• ODEのスペクトル行列式D(E)は統合階層に属し、可積分模型と同一の関数的構造を有することが示された。
• ストークス係数のDVF表現は、可積分模型におけるDVFと完全に一致し、普遍的な解析的構造を確認した。
• 高階ODEにおけるストークス係数の関数方程式は、U_q(A^{(1)}_n)転送行列のそれと同一であり、ワロンスキー恒等式を介して導出された。
• 高階ODEの固有値問題は、DVF表現の極なし条件から導かれるベーテアンザッツ方程式によって特徴づけられる。
• 同一のストークス係数に対して、基本解の導関数による複数の表現が存在し、n=1の場合におけるyおよびy'が両方ともT-Q関係を満たす一般化である。