[論文レビュー] Stokes Theorem for Lipschitz forms on a smooth manifold

Stanislav Dubrovskiy|ArXiv.org|May 27, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、リーマン多様体上のリプシッツ微分形式を、ステクロフ平均による滑らかな形式への近似によって、ストークスの定理を確立する。コンパクトな台を持つリプシッツ $(n-1)$-形式の外微分の積分が、境界上の形式の積分に等しいことを証明し、測度論的収束と分区関数の議論を用いて、古典的定理を滑らかでない形式へと拡張する。

ABSTRACT

Stokes theorem holds for Lipschitz forms on a smooth manifold.

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体上のリプシッツ微分形式にストークスの定理を拡張すること、ここでは古典的な滑らかさの仮定が成り立たない。
• 微分形式が $C^1$ でないがリプシッツ連続である場合に、外微分と境界積分を定義し、それらを扱う課題に取り組むこと。
• 近似技術と測度論的収束を活用して、リプシッツ形式の文脈でストークスの定理の有効性を確立すること。
• 古典的ストークスの定理を滑らかでない形式へ一般化し、幾何解析や滑らかでないデータを含む偏微分方程式への応用を可能にすること。

提案手法

• リプシッツ $(n-1)$-形式 $\omega = f\,dg_1 \wedge \cdots \wedge dg_{n-1}$ を $\mathbb{R}^n$ や $\mathbb{H}^n$ 上で、成分関数 $f, g_1, \dots, g_{n-1}$ のステクロフ平均を用いて近似する。
• 一様有界かつ almost everywhere ( a.e. ) 点ごとの収束の意味で $\omega$ に収束する滑らかな形式の列 $\omega_s = f_{\varepsilon_s} \, d(g_1)_{\varepsilon_s} \wedge \cdots \wedge d(g_{n-1})_{\varepsilon_s}$ を構成する。
• ルベーグ極限定理を用いて、積分 $\int_{\partial M} \omega_s \to \int_{\partial M} \omega$ および $\int_M d\omega_s \to \int_M d\omega$ の極限を取る。これは、導関数の一様有界性と a.e. 収束に依存する。
• 各滑らかな $\omega_s$ に対して標準的なストークスの定理を適用し、その後極限を取ることで、元のリプシッツ形式に対しても結果が成り立つことを結論づける。
• 一様チャート（$\mathbb{R}^n$ や $\mathbb{H}^n$）からの結果を、単一のチャートによる引き戻しと複数のチャートに対する分区関数を用いて、一般の滑らかな多様体へと拡張する。
• リプシッツ関数の部分多様体（例えば $\partial M$）への制限がリプシッツのままであるという事実に依存し、境界積分が適切に定義されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな多様体上のリプシッツ微分形式に対して、$C^1$ の正則性が欠如しているにもかかわらず、ストークスの定理が成立するか？
• RQ2 近似技術を用いて、古典的ストークスの定理の証明をリプシッツ形式に適応できるか？
• RQ3 リプシッツ形式の外微分は弱い意味または分布的意味で適切に定義可能であり、必要な積分的恒等式を満たすか？
• RQ4 リプシッツ形式の境界積分と体積積分を意味的に定義し、それらを比較する方法は何か？

主な発見

• コンパクトな台を持つ滑らかな $n$-多様体上のリプシッツ $(n-1)$-形式に対して、ストークスの定理が成立し、古典的結果を $C^1$ 形式を超えて拡張する。
• リプシッツ形式 $\omega$ の外微分 $d\omega$ は、可測な $n$-形式として適切に定義され、成分が成分関数のほとんど everywhere で定義された偏微分の多項式として表される。
• 境界積分 $\int_{\partial M} \omega$ は、リプシッツ関数の境界への制限がリプシッツのままであるため、被積分関数が可測かつ有界であるため、適切に定義される。
• ステクロフ平均の収束により、積分 $\int_{\partial M} \omega_s$ と $\int_M d\omega_s$ がそれぞれ $\int_{\partial M} \omega$ および $\int_M d\omega$ に収束することが保証され、ルベーグ極限定理に依拠する。
• 局所的モデル（$\mathbb{R}^n$ や $\mathbb{H}^n$）からの結果を、引き戻しと分区関数を用いて一般の滑らかな多様体へと拡張でき、定理の有効性が保たれる。