[論文レビュー] Strange Attractors Characterizing the Osmotic Instability

Stephan I. Tzenov|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2014

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、オーバーベック＝ブーシネスク近似に基づく逆浸透の流体力学的モデルを提案し、浸透流の力学的挙動がローレンツ型の不規則アトラクターに支配されることを示している。主な発見は、浸透定常波の時間的振幅が、ローレンツ系に特徴的な混沌とした力学に正確に従うことである。ここで、等温圧縮率の係数βが、レイノルズ＝ベナール対流における熱膨張に類似した役割を果たしている。

ABSTRACT

In the present paper a simple dynamical model for computing the osmotically driven fluid flow in a variety of complex, non equilibrium situations is derived from first principles. Using the Oberbeck-Boussinesq approximation, the basic equations describing the process of forward osmosis have been obtained. It has been shown that these equations are very similar to the ones used to model the free Rayleigh-Benard convection. The difference is that while in the case of thermal convection the volume expansion is driven by the coefficient of thermal expansion, the key role for the osmotic instability is played by the coefficient of isothermal compressibility. In addition, it has been shown that the osmotic process represents a propagation of standing waves with time-dependent amplitudes and phase velocity, which equals the current velocity of the solvent passing through the semi-permeable membrane. The evolution of the amplitudes of the osmotic waves is exactly following the dynamics of a strange attractor of Lorenz type with corresponding control parameters.

研究の動機と目的

• 非平衡系における浸透駆動流体の流れを、第一原理の流体力学的モデルとして構築すること。
• 平衡熱力学を超えた物理的メカニズムを提供することで、文献におけるギャップを埋めること。
• 浸透対流とレイノルズ＝ベナール対流の類似性を示し、熱膨張の代わりにβを主要制御パラメータとする。
• 浸透波の振幅がローレンツ型不規則アトラクターに支配される混沌とした力学に従うことを示すこと。
• 膜系における複雑な流れのパターンを、強固な制御パラメータを用いて数値モデル化するフレームワークを確立すること。

提案手法

• ミクロ的スケールの緩和ダイナミクスを記述するため、物理的に無限小の時間スケールを持つ一般化された運動方程式を導出する。
• 浸透系のナビエ＝ストークス方程式およびエネルギー方程式の簡略化のため、オーバーベック＝ブーシネスク近似を適用する。
• 自由なレイノルズ＝ベナール対流の式と類似する、逆浸透のための流体力学的モデルを導入する。
• 等温圧縮率の係数βが、熱対流における熱膨張係数に類似した役割を果たし、浸透不安定性を駆動する主要パラメータであることを特定する。
• 時間依存振幅を持つ定常波を記述する振幅方程式の集合に、系を還元する。
• 正規化により振幅ダイナミクスを標準的なローレンツ系に変換し、制御パラメータσ、r、bを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非平衡系における浸透流を、第一原理の流体力学的手法でどのようにモデル化できるか？
• RQ2 浸透不安定性とレイノルズ＝ベナール対流との間にはどのような動的類似性があるか？
• RQ3 等温圧縮率の係数βは、浸透系における不安定性の発生にどのように影響するか？
• RQ4 浸透波の振幅の時間的変化は、ローレンツ型の不規則アトラクターによって記述可能か？
• RQ5 混沌とした浸透混合への遷移の臨界条件は何か？

主な発見

• オーバーベック＝ブーシネスク近似下での逆浸透の基本方程式は、自由なレイノルズ＝ベナール対流のそれらと構造的に同一である。
• 主な相違点は駆動パラメータにあり、熱対流における熱膨張係数の代わりに、等温圧縮率βが使用されている。
• 浸透プロセスが、時間依存振幅と膜を通過する溶媒の流れの速度に等しい位相速度を持つ定常波を含むことが示された。
• これらの波の振幅ダイナミクスは、制御パラメータσ = 2/(DRe)、r = √2Δc/(πB)、b = 4/(1+a²) を持つローレンツ系に正確に従う。
• r = 1でピッチfork分岐が発生し、2つの新しい固定点が出現し、r = rc = σ(σ + b + 3)/(σ − b − 1) で混沌とうに至る。これは湍流的浸透混合の始まりを示している。
• r < 1のとき、原点が唯一の固定点であり、すべての軌道がそれに収束するため、安定な浸透運動が保証される。r > rcでは、正の実部を持つ複素固有値を有するため、系は混沌とうに至る。