[論文レビュー] Strategic Arrivals into Queueing Networks: The Network Concert Queueing Game

Harsha Honnappa, Rahul Jain|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2011

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、待ち時間とサービス完了時間のコストを組み合わせて最小化するように戦略的に到着時刻とキューを選択するユーザーの到着をモデル化する『ネットワーク・コンサート・キューイング・ゲーム』を導入する。非定常な到着ダイナミクスを捉えるために、フロイド極限近似を導出し、均衡到着分布が時間区間内で一様であることを特徴づけ、価格の悪化（price of anarchy）を計算する。対称的で複数の集団を含む状況では、その値が2で有界であることを示す。

ABSTRACT

Queueing networks are typically modelled assuming that the arrival process is exogenous, and unaffected by admission control, scheduling policies, etc. In many situations, however, users choose the time of their arrival strategically, taking delay and other metrics into account. In this paper, we develop a framework to study such strategic arrivals into queueing networks. We start by deriving a functional strong law of large numbers (FSLLN) approximation to the queueing network. In the fluid limit derived, we then study the population game wherein users strategically choose when to arrive, and upon arrival which of the K queues to join. The queues start service at given times, which can potentially be different. We characterize the (strategic) arrival process at each of the queues, and the price of anarchy of the ensuing strategic arrival game. We then extend the analysis to multiple populations of users, each with a different cost metric. The equilibrium arrival profile and price of anarchy are derived. Finally, we present the methodology for exact equilibrium analysis. This, however, is tractable for only some simple cases such as two users arriving at a two node queueing network, which we then present.

研究の動機と目的

• 待ち時間とサービス完了時間のコスト関数を最小化するために、ユーザーが到着時刻とキューを選択するキューイング・ネットワークにおける戦略的ユーザー到着をモデル化すること。
• 戦略的行動に起因する非再生的到着ダイナミクスを捉えるために、キューイング・ネットワーク過程のフロイド極限近似を開発すること。
• ユーザーが待ち時間とサービス完了時間の線形コスト関数を最小化する非アトミックな集団ゲーム設定において、均衡到着プロファイルを特徴づけること。その結果、システムパラメータによって定まる時間区間内で一様であることを示すこと。
• 戦略的行動に起因する効率的損失を、単一および複数集団の両設定において、価格の悪化を導出することで定量的に評価すること。
• 2人のユーザーと2つのキューからなる簡単なケースにおいて、構成による証明を通じて均衡の一意性を示す、正確な均衡解析を提供すること。

提案手法

• 外部から供給されない到着設定におけるキュー長、ビジー時間、仮想待機時間プロセスの関数的強い大数法則（FSLLN）近似を導出する。
• フロイドスケーリングされた仮想待機時間プロセスを $ \mathbf{W}^{n}(t) = \mathbf{V}^{n}(A^{n}(t)) - \mathbf{B}^{n}(t) - \mathbf{t_{s,-}}(t) $ として定義し、適切なスケーリングのもとでフロイド極限への収束を証明する。
• 確率的時間変換定理とマルティンググ・関数中央極限定理の手法を用いて、フロイドスケーリングされたプロセスの収束を確立する。
• 戦略的到着ゲームを、待ち時間とサービス完了時間の線形コスト関数を最小化するユーザーが参加する非アトミックな集団ゲームとしてモデル化する。
• 均衡到着分布 $ f(t) $ を導出し、$[-T_0, 0]$ で一様で、$[0, T]$ で連続的であり、時間に依存するルーティング確率 $ p_i(t) $ を有することを示す。
• 正規化条件 $ \int_{-T_0}^{T} f(t) dt = 1 $ と境界条件 $ f(T) = 0 $ を満たすように、均衡パラメータ $ T_0 $ と $ T $ を解き、対称的で2人のユーザーと2つのキューを持つケースで閉形式の式を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユーザーがマルチキュー・ネットワーク内で到着時刻とキューの両方を選び、ナッシュ均衡が存在する戦略的到着ゲームは存在するか？
• RQ2 キューイング・ネットワークのフロイド近似において、均衡到着分布の構造はいかなるものか？
• RQ3 戦略的行動に起因する非効率性を測る価格の悪化は、単一および複数集団の設定において、システムパラメータにどのように依存するか？
• RQ4 小さな対称的システムにおいて正確な均衡解析が可能か？また、その一意性の条件は何か？
• RQ5 サービス開始時刻、サービスレート、コスト重みは、均衡到着プロファイルとルーティング意思決定にどのように影響するか？

主な発見

• 均衡到着プロファイルは、時間区間 $[-T_0, 0]$ で一様分布であり、$ t > 0 $ では時間に依存するルーティング分布が連続的である。これはフロイド極限から導出される。
• 2人のユーザーと2つの並列キューの場合、正規化条件と境界条件から導かれる二次方程式を解くことで、均衡が一意に決定され、$ T_0 $ と $ T $ の明示的表現が得られる。
• 対称的ケースで2つの集団と等しいサービスレートを持つ場合、価格の悪化は2で有界であり、最悪ケースでの効率的損失は最大100％であることを示唆する。
• フロイド近似は、戦略的到着の本質的ダイナミクスを捉えており、到着間隔が従属的であり、プロセスが再生過程でないことを示している。
• 到着率 $ f(t) $ は区分的連続である：$[-T_0, 0]$ では一定、$[0, T]$ では $ t $ の線形関数であり、$ f(T) = 0 $ を満たす。
• 均衡ルーティング確率 $ p_i(t) $ は、サービス開始前は一定であり、以降は各キューの予想された空き時間に依存する時間に依存する関数となる。