[論文レビュー] Strategies for Reduced-Order Models for Predicting the Statistical Responses and Uncertainty Quantification in Complex Turbulent Dynamical Systems

Andrew J. Majda, Di Qi|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2018

Model Reduction and Neural Networks参考文献 64被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、高次元の乱流力学系における統計的応答の予測と不確実性の定量化を的確に行うための、体系的な低次元モデル（ROM）構築フレームワークを開発する。モデルのキャリブレーションには実験的情報理論と統計的線形応答理論を組み合わせ、感度の向上には全統計的エネルギーのダイナミクスを活用することで、全システムのモードのたった0.15%のモード数で高い精度を達成した。この手法は確率的三重項系と二層斜圧乱流の両方で検証された。

ABSTRACT

Turbulent dynamical systems characterized by both a high-dimensional phase space and a large number of instabilities are ubiquitous among many complex systems in science and engineering. The existence of a strange attractor in the turbulent systems containing a large number of positive Lyapunov exponents results in a rapid growth of small uncertainties, requiring naturally a probabilistic characterization for the evolution of the turbulent system. Uncertainty quantification in turbulent dynamical systems is a grand challenge where the goal is to obtain statistical estimates such as the change in mean and variance for key physical quantities in their nonlinear responses to changes in external forcing parameters or uncertain initial data. One central issue in contemporary research is the development of a systematic methodology that can recover the crucial features of the natural system in statistical equilibrium (model fidelity) and improve the imperfect model prediction skill in response to various external perturbations (model sensitivity). A general mathematical framework to construct statistically accurate reduced-order models that have skill in capturing the statistical variability in the principal directions with largest energy of a general class of damped and forced complex turbulent dynamical systems is discussed here. The methods are developed under a universal class of turbulent dynamical systems with quadratic nonlinearity that is representative in many applications in applied mathematics and engineering. The validity of general framework of reduced-order models is demonstrated on instructive stochastic triad models. Recent applications to two-layer baroclinic turbulence in the atmosphere and ocean with combinations of turbulent jets and vortices are also surveyed.

研究の動機と目的

• モデル誤差と計算限界が高次元で不安定な乱流系における不確実性定量化（UQ）の世界的な挑戦に取り組むこと。
• 不完全な物理法則の知識がある中でも、統計的平衡状態におけるモデルの忠実性と外部摂動への感度を保証する体系的な手法を開発すること。
• 全システムに比べてはるかに少ないモード数（全自由度の0.15%未塔）で、主要な統計的特徴を捉えるROMを構築することで、計算コストを低減すること。
• キャリブレートされた誤差モデルとエネルギー保存則に従うダイナミクスを用いることで、外部力や初期条件の摂動に対する予測精度を向上させること。

提案手法

• 不完全なモデル選択、実験的情報理論と統計的線形応答理論を用いたキャリブレーション、不確実性定量化を伴う予測の3段階戦略を採用する。
• 平均エネルギーと揺動エネルギーの和として定義される統計的エネルギー力学を用い、高次モーメントの明示的計算を回避する全統計的エネルギーの閉形式式を導出する。
• 強い外部摂動下でもモデル感度を向上させるために、全統計的エネルギー力学を活用し、複雑な3次モーメントを解明することなく正確な予測を可能にする。
• トレーニング段階でROMと真のシステム統計との間の発散を最小化するために、実験的情報理論を用いてモデルパラメータをキャリブレーションする。
• 二次非線形性を有する確率的三重項モデルを用いて、減衰、外力、非線形相互作用を組み込んだ平均と分散の動的方程式を導出する。
• 最もエネルギーの高いモードのみを保持し、エネルギー保存対称性を用いることで、分散ダイナミクスを簡略化する統計的閉じ込めを実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正のリャプノフ指数を多数有する乱流系において、低次元モデルを体系的にキャリブレーションすることで、高い統計的忠実性を達成する方法は何か？
• RQ2 高次元乱流系における外部力に対する統計的応答の不確実性定量化を可能にする数学的枠組みは何か？
• RQ3 全統計的エネルギー力学は、ROMにおける3次モーメントや共分散の明示的計算を置き換えることができるか？
• RQ4 例えば200モードという少数のモードが、全自由度が100,000の系の統計的挙動をどれほど正確に表現できるか？
• RQ5 情報理論的キャリブレーションとエネルギーベースのダイナミクスの組み合わせが、摂動へのモデル感度をどのように向上させるか？

主な発見

• 低次元モデルは、全システムが100,000の自由度を持つにもかかわらず、3モードでのみ構成される確率的三重項モデルにおいても、統計的応答と不確実性定量化を正確に捉える。
• 本手法は、全スペクトルモードの0.15%未塔（具体的には100,000中200モード）で高い精度を達成しており、統計的忠実性を損なわずに極めて強いモデル簡略化を実現した。
• エネルギー保存則と三重項対称性に基づいて導出された統計的エネルギー力学により、高次モーメントや共分散を解明することなく、全2次統計の正確な計算が可能になった。
• 実験的情報理論と統計的線形応答理論により、トレーニング段階でモデルパラメータを最適にキャリブレーションでき、摂動に対する予測精度が著しく向上した。
• ジェットや渦を有する二層斜圧乱流においても、非線形統計的応答を正確に予測できたことから、複雑な地球物理的流れにおいてもフレームワークの強靭性が確認された。
• エネルギー保存則に従うダイナミクスのおかげで、強い外部摂動下でもモデルの精度が維持された。これは感度と安定性を保証する要因となった。