[論文レビュー] Stream cipher based on quasigroup string transformations in $Z_p^*$

Danilo Gligoroski|ArXiv.org|Mar 30, 2004

Coding theory and cryptography参考文献 20被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、大規模な素数 p を法とする多変数多項式方程式を解く問題の困難性に基づく暗号的セキュリティを確保する、新しい公開鍵ストリーム暗号を提案する。整数乗法群 ℤₚ* 内での準群文字列変換を活用することで、モジュラー指数計算を回避し、単一の置換によって順序 p−1 の準群を定義することにより、対称鍵暗号並みの高速性を実現しながらも、NP困難な多変数多項式方程式系の解法に相当するセキュリティを維持する。

ABSTRACT

In this paper we design a stream cipher that uses the algebraic structure of the multiplicative group $\bbbz_p^*$ (where p is a big prime number used in ElGamal algorithm), by defining a quasigroup of order $p-1$ and by doing quasigroup string transformations. The cryptographical strength of the proposed stream cipher is based on the fact that breaking it would be at least as hard as solving systems of multivariate polynomial equations modulo big prime number $p$ which is NP-hard problem and there are no known fast randomized or deterministic algorithms for solving it. Unlikely the speed of known ciphers that work in $\bbbz_p^*$ for big prime numbers $p$, the speed of this stream cipher both in encryption and decryption phase is comparable with the fastest symmetric-key stream ciphers.

研究の動機と目的

• 公開鍵暗号システムの鍵交換の柔軟性と、対称鍵暗号の高速性を併せ持つストリーム暗号の設計を目的とする。
• 従来の公開鍵ストリーム暗号がモジュラー指数計算に起因して対称鍵暗号の約1000倍も遅いため、その性能ボトルネックを解消することを目的とする。
• ℤₚ* の代数的構造と準群を活用し、大規模な素数 p を法とする多変数多項式方程式系の解法が困難であることに基づくセキュリティを有する暗号の設計を目的とする。
• モジュラー指数計算を避けて、各ブロックあたり O(k log²p) のモジュラー乗算および逆元計算に置き換えることで、暗号化および復号化を効率的に行うことを目的とする。

提案手法

• 暗号は、乗法群 ℤₚ* 内でElGamal鍵交換プロトコルを用いて初期化される。
• 乗法表の最初の行（置換）のみを用いて、順序 p−1 の準群を定義することで、完全な表を格納する必要なく高速に構築できる。
• 暗号化および復号化は、各平文ブロックを一連の準群演算を用いて変換する準群文字列変換によって実行される。
• 変換プロセスでは、鍵から導出される秘密パrameter（「リーダー」と呼ばれる）によって定義される準群演算を反復的に適用する。
• モジュラー指数計算を回避し、各ブロックあたり O(k log²p) のモジュラー乗算および逆元計算に依存することで、高速な性能を実現する。
• 効率的なメッセージ符号化を可能とするため、pₗ = 2⁸ˡ + 3 の形をした素数を提案する。p₂₅₁（2008ビット）のような大きな値は、暗号的強度を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 公開鍵ストリーム暗号を設計することで、対称鍵暗号並みの性能を実現しながらも、公開鍵暗号のセキュリティ特性を維持できるか？
• RQ2 ℤₚ* 内での準群文字列変換に基づくストリーム暗号のセキュリティは、大規模な素数 p を法とする多変数多項式方程式系の解法と同等か？
• RQ3 単一の置換のみを用いて、乗法表を完全に格納せずに順序 p−1 の準群を効率的に構築できるか？
• RQ4 この暗号を破る計算量的複雑性は何か？また、計算数論における既知の難問とどのように関係するか？
• RQ5 2⁸ˡ + 3 の形をした素数を用いることで、メッセージの拡張を低減し、実用的な符号化効率を向上できるか？

主な発見

• 提案されたストリーム暗号は、各ブロックあたり O(k log²p) の複雑性を有し、最も高速な対称鍵ストリーム暗号と同等の暗号化・復号化速度を達成する。
• この暗号のセキュリティは、大規模な素数 p を法とする多変数多項式方程式系の解法と同等であり、その問題は効率的な確率的または決定的アルゴリズムが知られていないNP困難問題である。
• 順序 p−1 の準群を、乗法表の完全な格納を避けて単一の置換によって定義可能であるため、効率的な構築が可能になる。
• 従来のElGamalのような公開鍵システムと比較して、モジュラー指数計算を回避することで、著しく計算オーバーヘッドを低減する。
• pₗ = 2⁸ˡ + 3 の形の素数（例：p₂₅₁（2008ビット））を提案することで、メッセージの拡張を最小限に抑え、大容量ブロックの効率的符号化を可能にする。
• 複数のリーダーを用いても、その結果得られる多項式方程式系はますます複雑かつ解けないものとなるため、セキュリティは維持される。