[論文レビュー] Stream Processors and Comodels

Matthieu Anel|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 8被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、微分形式的（dg）コールゲブラと代数のためのスウィーダー理論を展開し、dgコールゲブラの圏が対称モノイド閉であること、dg代数がそれらの上に豊かに、テンソル化され、コテンソル化されていることを確立する。主な貢献は、スウィーダーの普遍的測定コールゲブラ、畳み込み代数、およびスウィーダー積の体系的な定式化であり、これらは、ホモロジー代数における既知の随伴、たとえばバーバーカバー構成をカテゴリー的枠組みで統一的かつ一般化する。

ABSTRACT

In 2009, Ghani, Hancock and Pattinson gave a coalgebraic characterisation of stream processors A^ℕ → B^ℕ drawing on ideas of Brouwerian constructivism. Their stream processors have an intensional character; in this paper, we give a corresponding coalgebraic characterisation of extensional stream processors, i.e., the set of continuous functions A^ℕ → B^ℕ. Our account sites both our result and that of op. cit. within the apparatus of comodels for algebraic effects originating with Power-Shkaravska.

研究の動機と目的

• dgコールゲブラの圏に対称モノイド閉構造を確立すること。
• dg代数がdgコールゲブラの上に豊かに、テンソル化され、コテンソル化されていることを示すこと。
• dg代数における豊かさのホム対象として、スウィーダーの普遍的測定コールゲブラを形式化すること。
• スウィーダー積と畳み込み代数の作用を用いて、バーバーカバー随伴を一般化すること。
• 代数的トポロジーおよびオペラッド理論におけるホモトピー的構成のカテゴリー的基盤を提供すること、特にdg圏上の代数的構造に焦点を当てる。

提案手法

• 微分形式的構造と整合的な乗法を備えたdgベクトル空間およびdg代数を定義する。
• dg代数における内部ホム {A, B} を、代数準同型を表すスウィーダーの普遍的測定コールゲブラとして導入する。
• dg代数における新しい演算として、畳み込みの双対であるスウィーダー積 C □ A を構成する。
• 畳み込み代数 [C, A] を用いて、コールゲブラ C による代数 A のコテンソル化を定義する。
• dg代数とdgコールゲブラの間で随伴を確立する：C □ − ⊣ [C, −]、[−, A] ⊣ {−, A}、および −□A ⊣ {A, −}。
• 理論を応用して、バーバーカバー随伴をこれらのスウィーダー作用の特別な場合として再構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 dgコールゲブラの圏にどのようにして対称モノイド閉構造を導入できるか。
• RQ2 dg代数の文脈において、スウィーダーの普遍的測定コールゲブラが果たす正確なカテゴリー的役割は何か。
• RQ3 スウィーダー積と畳み込み代数の作用が、ホモロジー代数における既知の随伴をどのように統一するか。
• RQ4 これらの構成が、dg代数およびdgコールゲブラのバーバーカバー随伴をどのように一般化するか。
• RQ5 dg代数がdgコールゲブラの上に豊かに、テンソル化され、コテンソル化されている関係は、どのように関係しているか。

主な発見

• dgコールゲブラの圏 (dgCoalg, ⊗, Hom) は対称モノイド閉である。
• dg代数の圏 (dgAlg, {−, −}, □, [−, −], ⊗) はdgCoalgの上に豊かで、テンソル化され、コテンソル化され、強くモノイド的である。
• dg代数における豊かさのホム {A, B} は、スウィーダーの普遍的測定コールゲブラと同型である。
• コールゲブラ C による代数 A のコテンソルは畳み込み代数 [C, A] に等しい。
• A と C のテンソルは、新しい演算 C □ A であり、スウィーダー積と呼ばれる。
• バーバーカバー随伴は、dg代数とdgコールゲブラの間の随伴 C □ − ⊣ [C, −] の特別な場合として再構成される。