[論文レビュー] Streaming Edge Coloring with Asymptotically Optimal Colors

Mohammad Saneian, Soheil Behnezhad|arXiv (Cornell University)|May 2, 2023

Optimization and Search Problems被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、任意のエッジ到着順に適応可能なストリーミング環境下で、eO(n√∆)の空間で漸近的に最適なO(∆)辺彩色を達成する確率的ストリーミングアルゴリズムを提示する。これは、サブラインアスケールO(∆)辺彩色における未解決問題を解決するものである。本手法は、複数の二部グラフ部分グラフ上で新たなグループ化とバッチ処理戦略を用い、すべての過去の色を記録せずに色の割り当てを管理することで、効率的かつストリーミングに適した彩色を実現する。

ABSTRACT

Given a graph $G$, an edge-coloring is an assignment of colors to edges of $G$ such that any two edges sharing an endpoint receive different colors. By Vizing's celebrated theorem, any graph of maximum degree $Δ$ needs at least $Δ$ and at most $(Δ+ 1)$ colors to be properly edge colored. In this paper, we study edge colorings in the streaming setting. The edges arrive one by one in an arbitrary order. The algorithm takes a single pass over the input and must output a solution using a much smaller space than the input size. Since the output of edge coloring is as large as its input, the assigned colors should also be reported in a streaming fashion. The streaming edge coloring problem has been studied in a series of works over the past few years. The main challenge is that the algorithm cannot "remember" all the color assignments that it returns. To ensure the validity of the solution, existing algorithms use many more colors than Vizing's bound. Namely, in $n$-vertex graphs, the state-of-the-art algorithm with $\widetilde{O}(n s)$ space requires $O(Δ^2/s + Δ)$ colors. Note, in particular, that for an asymptotically optimal $O(Δ)$ coloring, this algorithm requires $Ω(nΔ)$ space which is as large as the input. Whether such a coloring can be achieved with sublinear space has been left open. In this paper, we answer this question in the affirmative. We present a randomized algorithm that returns an asymptotically optimal $O(Δ)$ edge coloring using $\widetilde{O}(n \sqrtΔ)$ space. More generally, our algorithm returns a proper $O(Δ^{1.5}/s + Δ)$ edge coloring with $\widetilde{O}(n s)$ space, improving prior algorithms for the whole range of $s$.

研究の動機と目的

• ストリーミングモデル下で、任意のエッジ到着順に、漸近的に最適なO(∆)辺彩色がサブラインアスケール空間で達成可能かどうかという未解決問題を解明すること。
• すべてのエッジ色割り当てを記憶せずに、任意のエッジ到着順に正しい彩色を保証するストリーミングアルゴリズムを設計すること。
• O(∆)彩色にΩ(n∆)の空間を要する従来のアルゴリズムを改善すること。これは入力サイズと同程度の空間量である。
• 頂点到着モデルへの拡張を図り、O(∆)彩色をeO(n)空間で達成すること。

提案手法

• エッジをオンラインで到着する頂点バッチに基づいてs個のグループに分割し、s個の並列な二部グラフ辺彩色サブルーチンを用いる。
• 各グループはk = √∆のサイズのバッチでエッジを処理し、各バッチは頂点ごとの共有ランダム番号を用いたランダムなグループ割り当てにより、s個の部分グラフのいずれかに割り当てられる。
• 最大次数を低下させるために再帰的なランダム二部分割技術を用い、少ない色数で効率的な彩色を可能にする。
• オンライン頂点ごとにバッチ進行度を追跡するカウンタを維持し、モジュロ演算を用いて各バッチを特定の部分グラフインスタンスにマッピングする。
• 色割り当ては各部分グラフインスタンスごとに管理され、それぞれがeO(n)空間を用いるため、合計でeO(ns)の空間使用量となる。
• ∆ > 900 log²n の場合、本アルゴリズムは二部グラフ彩色サブルーチンを用いるが、それ以外の場合はグラフをオフラインで記憶する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のエッジ到着順に、ストリーミングモデル下でサブラインアスケール空間でO(∆)辺彩色を達成可能か？
• RQ2 すべての色割り当てを記憶せずに、正しさを保証するストリーミングアルゴリズムを設計可能か？
• RQ3 ストリーミング辺彩色において、空間使用量と色数の最適なトレードオフは何か？
• RQ4 頂点到着モデル下で、O(∆)彩色を維持したまま空間計算量をeO(n)に削減可能か？
• RQ5 グローバルメモリがなくとも、ランダムなグループ化とバッチ処理戦略を用いて、グローバルな色の可用性をシミュレートできるか？

主な発見

• 本稿では、高確率でO(∆)辺彩色を達成する確率的ストリーミングアルゴリズムを提示し、未解決問題に肯定的な答えを与える。空間使用量はeO(n√∆)である。
• 任意のs ≥ 1に対して、本アルゴリズムはO(∆1.5/s + ∆)の辺彩色をeO(ns)空間で達成する。これはすべてのsについて従来の境界を改善する。
• s = √∆と設定することで、漸近的に最適なO(∆)彩色がeO(n√∆)空間で達成可能となり、これは入力サイズに対してサブラインアスケールである。
• 頂点到着モデル下では、空間計算量をeO(n)に削減しながらも、高確率でO(∆)彩色を達成する。
• 最大次数を低下させるために再帰的なランダム二部分割技術を用い、少ない色数で効率的な彩色を可能にする。
• ランダムなグループ割り当てと各インスタンスごとの色割り当てにより、過去の割り当てをグローバルに記憶せずとも、色の整合性を保証する。