[論文レビュー] Streamline derivative projection-based POD-ROM for convection-dominated flows. Part I : Numerical Analysis

Mejdi Azaïez, Tomás Chacón Rebollo+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2017

Model Reduction and Neural Networks参考文献 30被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、変分多スケールおよび大渇流シミュレーション手法にインspiredされたストリームライン微分射影に基づく安定化を組み込んだ、安定化された固有直交分解低次元モデル（SD-POD-ROM）を、対流優勢な非圧縮流れに対して提案する。この手法は、空間的・時間的・POD切捨て誤差を考慮した厳密な誤差推定を通じて安定性と最適収束性を保証し、非線形安定化パラメータのDEIM近似により、オンライン計算を効率的に実現する。

ABSTRACT

We introduce improved Reduced Order Models (ROM) for convection-dominated flows. These non-linear closure models are inspired from successful numerical stabilization techniques used in Large Eddy Simulations (LES), such as Local Projection Stabilization (LPS), applied to standard models created by Proper Orthogonal Decomposition (POD) of flows with Galerkin projection. The numerical analysis of the fully Navier-Stokes discretization for the proposed new POD-ROM is presented, by mainly deriving the corresponding error estimates. Also, we suggest an efficient practical implementation of the stabilization term, where the stabilization parameter is approximated by the Discrete Empirical Interpolation Method (DEIM).

研究の動機と目的

• 未解決の微小スケールエネルギーの不十分な散逸が原因で、標準的なPOD-ROMが対流優勢な流れで数値不安定になる問題に対処すること。
• 局所射影安定化（LPS）および変分多スケール（VMS）手法にインspiredされた、安定化されたROM閉じ込めモデルを開発すること。
• 空間的・時間的・POD切捨て誤差の誤差推定を含む、完全離散SD-POD-ROMの厳密な数値解析を提供すること。
• 非線形安定化パラメータを離散的経験的補間法（DEIM）を用いて近似することで、オンライン計算を効率化すること。

提案手法

• 本手法は、低次元系における対流項の安定化に、ストリームライン微分射影に基づく作用素を用いる。
• 安定化パラメータは漸近的スケーリングにより定義され、要素単位の速度ノルムとメッシュサイズを用いて、局所的に対流と拡散をバランスさせる。
• オフライン段階では、スナップショットからPODモードを計算し、最大補間誤差を最小化するためのグリーディアルゴリズムを用いて、重要な補間点を選択する。
• オンライン段階では、DEIMを用いて選択された点における非線形安定化パラメータを近似し、低コストなオンライン評価を可能にする。
• ナビエ＝ストークス方程式のガラーキン射影を、低次元POD基底上に適用し、高周波数モードを制御するための安定化項を追加する。
• 完全離散系では、時間積分に後退オイラー法、空間離散化に適合する有限要素法を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストリームライン微分射影に基づく安定化は、対流優勢な流れにおける標準的POD-ROMの安定性を向上させることができるか？
• RQ2 空間的・時間的・POD切捨て誤差を考慮した場合、安定化されたSD-POD-ROMの収束挙動はいかなるものか？
• RQ3 非線形安定化項は、高い計算コストを伴わず、オンライン段階でどのように効率的に実装できるか？
• RQ4 提案手法は、数値的安定性を確保しつつ、PODモードのエネルギー的最適性を保持できるか？
• RQ5 未解決の対流微分項の影響を捉える鋭い形で誤差推定を導出できるか？

主な発見

• 完全離散SD-POD-ROMに対して鋭い誤差推定が導出され、空間的・時間的・POD切捨て誤差を明示的に考慮している。
• 安定化項は、対流微分の高周波数成分に対する追加的制御を導入し、乱流シミュレーションにおいて極めて重要である。
• 標準的な有限要素メッシュおよび時間刻みの仮定の下で、安定性と収束性が保証される。
• 安定化パラメータのDEIMに基づく近似により、オンライン計算コストがO(˜r³)に低減され、リアルタイム応用が可能になる。
• 理論的枠組みは、VMS安定化とROM閉じ込めの強い関連性を確立し、POD-ROMにおけるLPSインスパイア作用素の使用を正当化する。
• 解析により、この手法がPODモードのエネルギー的最適性を維持しつつ、数値的安定性に必要な散逸を追加することが確認された。