[論文レビュー] Strengthened Brooks Theorem for digraphs of girth three

Ararat Harutyunyan, Bojan Mohar|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 7被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、有向2サイクル（ダイソン）を含まない3の高さを持つ有向グラフに対して、Brooksの定理を強化する。有向グラフの彩色数は、$\chi(D) \leq (1 - e^{-13})\tilde{\Delta}$ で抑えられ、ここで $\tilde{\Delta}$ は出次数と入次数の幾何平均の最大値である。この結果は、すべての $\tilde{\Delta} > 2$ に対して、$\chi(D) \leq \alpha(\tilde{\Delta} + 1)$ を満たす絶対定数 $\alpha < 1$ が存在することを示し、ダイソンを除いた古典的境界の改善を意味する。

ABSTRACT

Brooks' Theorem states that a connected graph $G$ of maximum degree $Δ$ has chromatic number at most $Δ$, unless $G$ is an odd cycle or a complete graph. A result of Johansson (1996) shows that if $G$ is triangle-free, then the chromatic number drops to $O(Δ/ \log Δ)$. In this paper, we derive a weak analog for the chromatic number of digraphs. We show that every (loopless) digraph $D$ without directed cycles of length two has chromatic number $χ(D) \leq (1-e^{-13}) ildeΔ$, where $ ildeΔ$ is the maximum geometric mean of the out-degree and in-degree of a vertex in $D$, when $ ildeΔ$ is sufficiently large. As a corollary it is proved that there exists an absolute constant $α&lt; 1$ such that $χ(D) \leq α( ildeΔ + 1)$ for every $ ildeΔ &gt; 2$.

研究の動機と目的

• 有向2サイクル（ダイソン）を除いた場合の有向グラフへのBrooksの定理の拡張を通じて、彩色数の境界を改善すること。
• 最大の入出次数の幾何平均が大きい有向グラフの双彩色数に対する非自明な上界を確立すること。
• 三角形を含まない無向グラフのJohanssonの結果に類似して、ダイソンを含まない有向グラフの彩色数が、幾何平均 $\tilde{\Delta}$ よりも厳密に遅く増加することを示すこと。
• ダイソンを含まない有向グラフの彩色数に対する漸近的境界の改善に関する予想の根拠を提供すること。

提案手法

• $\tilde{\Delta}(D) = \max\{ \sqrt{d^+(v)d^-(v)} \mid v \in V(D) \}$ を、入出次数の幾何平均の最大値として定義する。
• 確率論的および極値的技法を用いて、十分に大きな $\tilde{\Delta}$ に対して、すべてのダイソンを含まない有向グラフが $\chi(D) \leq (1 - e^{-13})\tilde{\Delta}$ を満たすことを示す。
• 最大の無閉路集合に基づく色分けアルゴリズムと帰納法を用いて、自明な境界 $\tilde{\Delta} + 1$ よりも低い彩色数の上界を得る。
• 既知の $k$-臨界有向グラフおよびオイラー有向グラフの構造的性質を活用し、より高い彩色数を強制する極値的構成を除外する。
• 有向グラフがリストサイズ $\lceil\tilde{\Delta}\rceil$ の $L$-彩色不能であるならば、それはオイラー的かつ正則でなければならないことを証明し、それがダイソンを含まない限り矛盾が生じることを示す。
• すべての $\tilde{\Delta} > 2$ に対して $\chi(D) \leq \alpha(\tilde{\Delta} + 1)$ を満たす定数 $\alpha < 1$ の存在を、小および大の $\tilde{\Delta}$ に対する境界の組み合わせから導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有向2サイクル（ダイソン）を除いた場合、有向グラフに対するBrooksの定理を改善できるか？
• RQ2 すべてのダイソンを含まない有向グラフについて、$\tilde{\Delta} > 2$ のとき、$\chi(D) \leq \alpha(\tilde{\Delta} + 1)$ を満たす定数 $\alpha < 1$ が存在するか？
• RQ3 ダイソンを含まない有向グラフの彩色数は、$\tilde{\Delta}$ よりも漸近的に遅く増加するか？これは、三角形を含まないグラフに対するJohanssonの結果に類似している。
• RQ4 すべてのダイソンを含まない有向グラフについて、$\lceil\tilde{\Delta}\rceil \geq \Delta_0$ を満たす最小の $\Delta_0$ は何か？

主な発見

• 十分に大きな $\tilde{\Delta}$、具体的には $\tilde{\Delta} \geq 10^{10}$ のとき、すべてのダイソンを含まない有向グラフ $D$ について、$\chi(D) \leq (1 - e^{-13})\tilde{\Delta}$ が成り立つ。
• すべての $\tilde{\Delta} > 2$ を満たすダイソンを含まない有向グラフについて、$\chi(D) \leq \alpha(\tilde{\Delta} + 1)$ を満たす絶対定数 $\alpha < 1$ が存在する。
• 小規模な $\tilde{\Delta}$ に対しては、すべてのダイソンを含まない有向グラフについて $\chi(D) \leq \lceil\tilde{\Delta}\rceil$ が成り立ち、これは $\lceil\tilde{\Delta}\rceil = 2$ および $3$ の場合にタイトである。
• ファノ平面の構成により、7頂点の3正則なダイソンを含まない有向グラフが得られ、これは正確に3色で彩色可能である。これは $\tilde{\Delta} = 3$ の場合に境界のタイトネスを示している。
• すべての $\lceil\tilde{\Delta}\rceil \geq \Delta_0$ を満たすダイソンを含まない有向グラフについて $\chi(D) \leq \lceil\tilde{\Delta}\rceil - 1$ が成り立つような $\Delta_0$ の存在が示された。$\Delta_0$ は4未満でもよい。
• 補題3.6により、$\lceil\tilde{\Delta}\rceil \geq \Delta_0$ のとき、ある $\alpha < 1$ に対して $\chi(D) \leq \alpha\lceil\tilde{\Delta}\rceil$ が成り立つことが確認され、予想1.5の弱い形を支持する。