[論文レビュー] Strengths and Weaknesses of Quantum Computing

Charles H. Bennett, Ethan Bernstein+2 more|Jan 1, 1997

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 23

ひとこと要約

この論文は、ランダムオракルに関して、NP は量子チューリング機械によって o(2^{n/2}) 時間で解けないことを証明することで、量子計算の限界を調査している。同様に、co-NP ∩ NP は o(2^{n/3}) 時間で解けない。これらの境界は、Groverのアルゴリズムが NP に対して O(2^{n/2}) を達成することにより、タイトである。これは、NP の量子スピードアップが限界を持っており、このモデル下では NP 完全問題に対して多項式時間解法を達成できないことを示している。

ABSTRACT

Recently a great deal of attention has focused on quantum computation following a sequence of results suggesting that quantum computers are more powerful than classical probabilistic computers. Following Shor's result that factoring and the extraction of discrete logarithms are both solvable in quantum polynomial time, it is natural to ask whether all of NP can be efficiently solved in quantum polynomial time. In this paper, we address this question by proving that relative to an oracle chosen uniformly at random, with probability 1, the class NP cannot be solved on a quantum Turing machine in time $o(2^{n/2})$. We also show that relative to a permutation oracle chosen uniformly at random, with probability 1, the class $NP \cap coNP$ cannot be solved on a quantum Turing machine in time $o(2^{n/3})$. The former bound is tight since recent work of Grover shows how to accept the class NP relative to any oracle on a quantum computer in time $O(2^{n/2})$.

研究の動機と目的

• 量子コンピュータが NP 完全問題を効率的に解けるかどうかを特定すること。
• 古典的確率的マシンに対して、量子チューリング機械の計算能力を調査すること。
• 相対化モデル下で、量子アルゴリズムが NP および NP ∩ co-NP 問題を解くために必要な時間の下界を確立すること。
• BQP と NP の関係、特に量子コンピュータが NP 完全問題を多項式時間で解けるかどうかを明確にすること。

提案手法

• 量子計算の限界を分析するために、ランダムオラクルを用いた相対化された複雑性理論を用いる。
• 量子オラクルモデルを適用して、量子チューリング機械（QTM）をシミュレートし、クエリ複雑性を分析する。
• 量子クエリ複雑性とアンプリチュード増幅の技術を用いて、下界を導出する。
• ハイブリッド法と量子アドバーザリ法を用いて、NP および NP ∩ co-NP のクエリ複雑性の下界を証明する。
• 与えられたマシンを重ね合わせ状態で k 回実行する量子チューリング機械を構築し、ダウーフェリングと可逆計算を用いる。
• ユニタリ発展と内積保存を活用して、量子アルゴリズムにおける高精度の出力状態を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子コンピュータは NP 完全問題を多項式時間で解けるか？
• RQ2 ランダムオラクルに関して、量子チューリング機械が NP 問題を解くために必要な最小時間は何か？
• RQ3 NP 問題に対する量子スピードアップに根本的な限界があるか。もしあるなら、それは何か？
• RQ4 NP の量子クエリ複雑性は、古典的確率的計算と比べてどのように異なるか？
• RQ5 量子アルゴリズムは、NP 問題に対して O(2^{n/2}) よりも良いクエリ複雑性を達成できるか？

主な発見

• 一様ランダムオラクルに関して、NP は量子チューリング機械によって o(2^{n/2}) 時間で解けない。
• 一様ランダム置換オラクルに関して、NP ∩ co-NP は o(2^{n/3}) 時間で解けない。
• NP に対する o(2^{n/2}) の境界はタイトであり、Groverのアルゴリズムが NP サーチに対して O(2^{n/2}) クエリ複雑性を達成するためである。
• この結果は、多項式階層が崩壊しない限り、量子コンピュータが NP 完全問題を効率的に解けないことを示唆している。
• この論文は、ランダムオラクルに関して BQP が BPP に含まれないことを確立しており、量子コンピュータが古典的コンピュータよりも厳密に強力であるという予想を支持している。
• 高い成功確率と可逆計算を備えた量子チューリング機械の構築は、BQP などの量子複雑性クラスの堅牢性を確認している。