[論文レビュー] Stress concentration for two nearly touching circular holes

Mikyoung Lim, Sanghyeon Yu|arXiv (Cornell University)|May 29, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 14被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、2次元線形弾性における2つのほぼ接触する円形穴の間の応力集中を解析的に特徴付けるために、特異漸近展開法の新規な手法を開発する。双極座標で応力を表現し、係数が徐々に減少するフーリエ級数を分析することで、狭いすきまにおける $\epsilon^{-1/2}$ 応力特異性を捉える明示的な関数を導出する。これは、穴のケースにおけるこの現象の、初めての完全な解析的特徴付けである。

ABSTRACT

We consider the plane elasticity problem for two circular holes. When two holes are close to touching, the stress concentration happens in the narrow gap region. In this paper, we characterize the stress singularity between the two holes by an explicit function. A new method of a singular asymptotic expansion for the Fourier series with slowing decaying coefficients is developed to investigate the asymptotic behavior of the stress.

研究の動機と目的

• 2次元線形弾性における2つのほぼ接触する円形穴の間の狭いすきま領域における応力特異性を解析的に特徴付けること。
• 従来の手法では応力場の特異的挙動を完全に捉えられなかったという限界を克服すること。
• ラメ方程式が双極座標で生じる係数がゆっくり減少するフーリエ級数に特化した、新しい漸近法を開発すること。
• 穴の外側の全領域にわたる応力分布、特に支配的特異成分を含めた、完全で明示的な記述を提供すること。

提案手法

• 応力場は、2つの円形不連続体がわずかなすきまをもつ場合に自然に記述できる双極座標で表現される。
• 解は角変数におけるフーリエ級数に展開され、調和モードが増加するにつれて係数がゆっくり減少する形になる。
• すきま $\epsilon \to 0$ のとき、係数がゆっくり減少するフーリエ級数の漸近的挙動を分析するため、新しい特異漸近展開技術が開発される。
• この手法では、すきまの大きさを制御する小パラメータ $s \sim \epsilon$ に関して、係数 $v(ns,s)$ および $w(ns,s)$ の漸近展開が導出される。
• 応力テンソル成分 $\sigma_{\zeta\theta}, \sigma_{\zeta\zeta}$ は、双曲線関数および級数係数の漸近的挙動を用いて明示的に導出される。
• 解析により、応力の支配的特異的寄与は、$\epsilon^{-1/2}$ 比例の特定の関数に起因しており、それが明示的に同定されていることが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元線形弾性における2つのほぼ接触する円形穴の間の狭いすきまにおける応力場の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ2 フーリエ級数係数がゆっくり減少する場合、応力場の特異的挙動をどのように解析的に捉えることができるか？
• RQ3 応力集中の完全な解析的特徴付け、特に支配的特異成分を含めて達成可能か？
• RQ4 ラメ定数は、穴が接触に近づく際に応力テンソルの発散速度をどのように決定するか？
• RQ5 提案手法は、類似問題に用いられる従来の漸近法とどのように異なり、どのように改善されているか？

主な発見

• 応力場は、$\epsilon \to 0$ のとき、2つの円形穴の間の狭いすきま領域で $\epsilon^{-1/2}$ 特異性を示すことが確認され、数値的に観察された発散挙動が定量的に裏付けられた。
• 明示的な関数が導出され、応力テンソルの特異的挙動を完全に捉え、応力集中の完全な解析的特徴付けが可能になった。
• 係数がゆっくり減少するフーリエ級数を扱うために、新しい特異漸近展開技術が開発され、これが問題の解法に不可欠であった。
• 応力の支配的特異的寄与は、$\epsilon^{-1/2}$ スケーリング項に起因しており、これは係数関数の漸近解析から明示的に同定され、導出された。
• 従来の手法（例：Callias や Markenscoff（1990年代）の手法）とは根本的に異なり、より包括的である。これらの手法は境界展開しか提供できず、内部応力場の完全な特徴付けはできなかった。
• 解析により、均一な法線荷重下において、円形穴の応力特異性は、背景材料のラメ定数に依存せず普遍的であることが確認された。ただし、穴が完全に剛性または空洞的である場合に限る。