[論文レビュー] Stress-Energy-Momentum Tensors in Lagrangian Field Theory. Part 1. Superpotentials

G. Giachetta, G. Sardanashvily|ArXiv.org|Oct 30, 1995

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 27被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、射影可能なベクトル場に関するラグランジアン密度のリーマン微分の標準的分解を用いて、ラグランジュ場理論におけるストレインエネルギー運動量テンソルの幾何的枠組みを構築する。異なるレパジアン同等物およびベクトル場のリフトが、スーパーポテンシャル項の違いを示す異なるストレインエネルギー運動量テンソルを生じることを示し、特にゲージ理論および一般相対性理論における隠れたエネルギーとゲージ不変性に関して重要な意味を持つ。

ABSTRACT

Differential conservation laws in Lagrangian field theory are usually related to symmetries of a Lagrangian density and are obtained if the Lie derivative of a Lagrangian density by a certain class of vector fields on a fiber bundle vanishes. However, only two field models meet this property in fact. In gauge theory of exact internal symmetries, the Lie derivative by vertical vector fields corresponding to gauge transformations is equal to zero. The corresponding Nöether current is reduced to a superpotential that provides invariance of the Nöether conservation law under gauge transformations. In the gravitation theory, we meet the phenomenon of "hidden energy". Only the superpotential part of energy-momentum of gravity and matter is observed when the general covariant transformations are exact. Other parts of energy-momentum display themselves if the invariance under general covariance transformations is broken, e.g., by a background world metric. In this case, the Lie derivatives of Lagrangian densities by vector fields which call into play the stress-energy-momentum tensors fail to be equal to zero in general. We base our analysis of differential conservation laws on the canonical decomposition of the Lie derivative of a Lagrangian density $L$ by a projectable vector field on a bundle and with respect to different Lepagian equivalents of $L$. Different Lepagian equivalents lead to conserved quantities which differ from each other in superpotential terms. We have different stress-energy-momentum tensors depending on different lifts of vector fields on a base onto a bundle. Moreover, different solutions of the same Euler-Lagrange equations may require different energy-momentum tensors. We show that different stress-energy-momentum tensors differ from each other in Nöether currents. As

研究の動機と目的

• 微分幾何学を用いて、ラグランジュ場理論におけるストレインエネルギー運動量テンソルの幾何的起源を明確化すること。
• レパジアン同等物およびベクトル場のリフトに依存するエネルギー運動量テンソルの定義に関する曇りを解消すること。
• ゲージ理論および一般相対性理論における、保存電流および隠れたエネルギーとの関係において、スーパーポテンシャルの役割を説明すること。
• 同じオイラー＝ラグランジュ方程式から、異なるストレインエネルギー運動量テンソルを体系的に導出する方法を確立すること。
• ゲージ不変性および一般共変性が保存量の構造およびそのスーパーポテンシャル成分に与える影響を明確化すること。

提案手法

• ファイバー束上の射影可能なベクトル場に沿ったラグランジアン密度のリーマン微分の標準的分解を用いる。
• ラグランジアン密度の異なるレパジアン同等物を分析し、それらから異なる保存電流およびストレインエネルギー運動量テンソルを導出する。
• 異なるベクトル場のリフトから生じる代替的ストレインエネルギー運動量テンソルの差として、スーパーポテンシャルの概念を導入する。
• ゲージ理論に垂直なベクトル場を適用し、ゲージ対称性下でネーター電流がスーパーポテンシャルに還元されることを示す。
• 一般共変性を有する一般相対性理論を検討し、正確な対称性下ではエネルギー運動量テンソルのスーパーポテンシャル部分のみが観測可能であることを示す。
• 背景計量によって一般共変性が破壊されると、エネルギー運動量の非スーパーポテンシャル成分が追加で現れることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラグランジアン密度の異なるレパジアン同等物は、どのように異なるストレインエネルギー運動量テンソルを生じるか？
• RQ2 保存電流およびリーマン微分の文脈において、スーパーポテンシャルの幾何的起源は何か？
• RQ3 一般相対性理論におけるエネルギー運動量テンソルが部分的にしか観測できないのはなぜか？そしてスーパーポテンシャルはこの問題をどのように解決するか？
• RQ4 ゲージ対称性は、ネーター電流がスーパーポテンシャルに還元されるのとどのように関係するか？
• RQ5 ファイバー束上のベクトル場の異なるリフトは、結果として得られるストレインエネルギー運動量テンソルにどのように影響を与えるか？

主な発見

• 同じオイラー＝ラグランジュ方程式から導かれる異なるストレインエネルギー運動量テンソルは、異なるレパジアン同等物に起因するスーパーポテンシャル項の差異を示す。
• 正確な内部対称性を持つゲージ理論では、ネーター電流はスーパーポテンシャルに還元され、保存則のゲージ不変性が保証される。
• 一般相対性理論では、正確な一般共変性下ではエネルギー運動量テンソルのスーパーポテンシャル部分のみが観測可能であり、対称性が背景計量によって破壊されると他の成分が現れる。
• 一般共変性が破壊されているとき、ベクトル場に沿ったラグランジアン密度のリーマン微分は一般にゼロにならず、スーパーポテンシャルを超える非自明な寄与が生じる。
• この形式的枠組みにより、同一物理系に対して複数の整合的なストレインエネルギー運動量テンソルが、ベクトル場のリフトおよびレパジアン同等物の選択に応じて存在可能であることが示された。
• この枠組みは、重力における「隠れたエネルギー」の現象を、スーパーポテンシャル構造および対称性の破れの結果として説明できる。