[論文レビュー] Strichartz estimates and moment bounds for the relativistic Vlasov-Maxwell system I. The $2$-D and $2\frac 12$-D cases

Jonathan Luk, Robert M. Strain|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2014

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 27被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、運動量空間における初期データにコンパクトな台を持たないという仮定をせず、2次元および2.5次元における相対論的Vlasov-Maxwell系の全球的解の存在、一意性、正則性を確立する。波動方程式に対するStrichartz評価とモーメント評価を組み合わせることで、運動量空間で多項式的に減衰する初期データが、有界なモーメントを保ち、電磁場の時間的成長に関するより良い評価を得られることを証明している。これはGlassey-Schaefferの古典的結果を、サイズに制限のないより広い初期データのクラスへと拡張するものである。

ABSTRACT

Consider the relativistic Vlasov-Maxwell system with initial data of unrestricted size. In the two dimensional and the two and a half dimensional cases, Glassey-Schaeffer (1997, 1998, 1998) proved that for regular initial data with compact momentum support this system has unique global in time classical solutions. In this work we do not assume compact momentum support for the initial data and instead require only that the data have polynomial decay in momentum space. In the 2D and the $2\frac 12$D cases, we prove the global existence, uniqueness and regularity for solutions arising from this class of initial data. To this end we use Strichartz estimates and prove that suitable moments of the solution remain bounded. Moreover, we obtain a slight improvement of the temporal growth of the $L^\infty_x$ norms of the electromagnetic fields compared to Glassey-Schaeffer.

研究の動機と目的

• 運動量空間における初期データにコンパクトな台を仮定しない範囲で、Glassey-Schaefferの相対論的Vlasov-Maxwell系の全球的解の存在結果を拡張すること。
• 2次元および2.5次元の設定において、運動量空間で多項式的に減衰する初期データを持つ解について、全球的解の存在と正則性を確立すること。
• 従来の研究と比較して、電磁場のL∞_xノルムの時間的成長率を改善すること。
• Part IIで述べられる3次元の場合への応用を想定し、Strichartz評価とモーメント評価を組み合わせたフレームワークを構築すること。

提案手法

• 2次元および2.5次元の設定において、波動方程式に対するStrichartz評価を用いて電磁場を制御する。
• 分布関数fの重み付き微分の伝播を分析することにより、Vlasov方程式のモーメント評価を確立する。
• 電磁場の勾配∇xKを、初期データの寄与とf、K、∇fを含む5つの項に分解する。
• 補間不等式およびカーネル評価（例：2次元波動カーネル）を用いて、Kおよび∇xKのL∞_xノルムを導出する。
• 電磁場およびその微分の有界性を用いて、特性曲線のブートストラップ法を閉じる。
• 2.5次元解が並進対称性の下で3次元解の制限として得られることを活用し、3次元の評価を2.5次元の場合に適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 運動量空間における初期データにコンパクトな台を仮定しない場合でも、2次元および2.5次元の相対論的Vlasov-Maxwell系について、全球的解の存在と正則性を確立できるか？
• RQ2 多項式的に減衰する初期データのもとで、電磁場のL∞_xノルムの最適な時間的成長率は何か？
• RQ3 Strichartz評価とモーメント評価をどのように組み合わせて、運動量空間にコンパクトな台がない状況下での解の正則性と減衰を制御できるか？
• RQ4 重み付きSobolevノルムは、運動量空間における分布関数fの長時間的挙動を制御するために果たす役割は何か？
• RQ5 本稿で開発された手法は、Part IIで示唆されているように、完全な3次元相対論的Vlasov-Maxwell系へと拡張可能か？

主な発見

• 電磁場KのL∞_t([0,T];L∞_x)ノルムは、あるC>0とk>0に対してCe^{CT^k}で有界であることが示され、以前の成長推定を改善した。
• 電磁場の勾配∇xKは、Tに依存しないL∞([0,T);L∞_x)で一様有界である。
• w3∇x,pfの重み付きL1_t([0,T);L∞_xL2_p)ノルムは、Tに依存しない一様有界性を示す。ここでw3(p) = p0^{3/2}/log(1+p0)である。
• 粒子軌道(X,V)の微分は、時間にわたって一様有界であり、古典的解の全球的存在を保証する。
• 初期データに多項式的減衰の仮定をおくと、fおよびその微分のモーメント評価が時間全域にわたり保存される。
• 本手法は、Part IIで詳細に述べられるように、3次元の場合への全球的解の存在結果への拡張のためのフレームワークを提供する。