[論文レビュー] Strichartz estimates and smooth attractors for a sub-quintic wave equation with fractional damping in bounded domains

Anton Savostianov|Durham Research Online (Durham University)|Mar 28, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、有界領域における分数階減衰 $(-\Delta)^\alpha \partial_t u$ を持つ準線形波動方程式に対して、Shatah-Struwe 解の存在と滑らかな指数的吸引子の存在を確立する。主な貢献は、線形化方程式に対するストリカルツ型推移の導出であり、これは $L^5([0,T];L^{10}(\Omega))$ ノルムを制御可能にし、エネルギー枠組みを超えて適切な解の存在と吸引子の存在を示すために不可欠である。

ABSTRACT

The work is devoted to Dirichlet problem for sub-quintic semi-linear wave equation with damping damping term of the form $(-Δ)^α\partial_t u$, $α\in(0,\frac{1}{2})$, in bounded smooth domains of $\Bbb R^3$. It appears that to prove well-posedness and develop smooth attractor theory for the problem we need additional regularity of the solutions, which does not follow from the energy estimate. Considering the original problem as perturbation of the linear one the task is reduced to derivation of Strichartz type estimate for the linear wave equation with fractional damping, which is the main feature of the work. Existence of smooth exponential attractor for the natural dynamical system associated with the problem is also established.

研究の動機と目的

• 有界な滑らかな領域における分数階減衰 $(-\Delta)^\alpha \partial_t u$ を持つ非線形減衰波動方程式について、$\alpha \in (0, \frac{1}{2})$ のもとで適切な解の存在を確立すること。
• エネルギー解よりも高い正則性を要する Shatah-Struwe 解の存在と一意性を証明すること。
• エネルギー枠組みを超えて、$\alpha \geq \frac{1}{2}$ の範囲を超えて拡張された動的システムの滑らかな吸引子理論を構築すること。
• 標準的なエネルギー推移で正則性が不足する問題を克服するため、分数階減衰を伴う線形化方程式に対するストリカルツ型推移を導出すること。
• エネルギー空間 $\mathcal{E}$ において滑らかな指数的吸引子 $\mathcal{M}$ を構成し、それがより高い正則性空間 $\mathcal{E}_1$ に有界であることを示すこと。

提案手法

• 非線形問題を分数階減衰 $(-\Delta)^\alpha \partial_t u$ を持つ線形減衰波動方程式の摂動として取り扱う。
• 有界領域における分数階減衰を伴う線形波動方程式に対して、$L^5([0,T];L^{10}(\Omega))$ ノルムを制御するストリカルツ型推移を導出する。
• 導出したストリカルツ推移を用いて、準線形項が準五次式である場合の Shatah-Struwe 解の存在と一意性を証明する。
• 吸収性と滑らかさ効果を用いて、エネルギー空間 $\mathcal{E}$ におけるグローバル吸引子の有界性とコンパクト性を確立する。
• 時間1ステップ写像 $S_1$ を用いた離散的動的システムの手法を適用し、$\mathcal{E}$ における指数的吸引子 $\mathcal{M}$ を構成する。これは、有界な吸収集合上で $S_1$ のリプシッツ連続性を活用する。
• 吸収集合内の $\xi_1, \xi_2$ に対して、$\|S_1\xi_1 - S_1\xi_2\|_{\mathcal{E}_\alpha} \leq L\|\xi_1 - \xi_2\|_{\mathcal{E}}$ という重要な推移を証明し、指数的吸引子の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界な滑らかな領域において、$\alpha \in (0, \frac{1}{2})$ のもとで、分数階減衰 $(-\Delta)^\alpha \partial_t u$ を持つ線形波動方程式に対してストリカルツ型推移を確立できるか？
• RQ2 標準的なエネルギー推移で正則性が不足する $\alpha < \frac{1}{2}$ の場合、準五次非線形項を伴う Shatah-Struwe 解の存在が妨げられるか？
• RQ3 $\alpha \in (0, \frac{1}{2})$ の場合に、非線形波動方程式が生成する動的システムに対して滑らかな指数的吸引子を構成できるか？
• RQ4 この範囲で、$L^5([0,T];L^{10}(\Omega))$ ノルムがストリカルツ推移によって制御可能であり、エネルギー解を超える高い正則性が得られるか？
• RQ5 $\alpha = 0$ および $\alpha = \frac{1}{2}$ の場合に知られている弱吸引子における後向き滑らかさ効果が、$\alpha \in (0, \frac{1}{2})$ に対しても拡張可能か？

主な発見

• 有界な滑らかな領域において、$\alpha \in (0, \frac{1}{2})$ のもとで、分数階減衰 $(-\Delta)^\alpha \partial_t u$ を持つ線形波動方程式に対してストリカルツ型推移が導出され、$L^5([0,T];L^{10}(\Omega))$ ノルムの制御が可能となった。
• 準線形波動方程式に対して、非線形項が準五次式である場合、$\alpha \in (0, \frac{1}{2})$ であっても Shatah-Struwe 解が存在し、かつ一意であることが示された。エネルギー推移からはその正則性は得られないが、ストリカルツ推移により補填された。
• エネルギー空間 $\mathcal{E}$ に滑らかな指数的吸引子 $\mathcal{M}$ が存在し、かつより高い正則性空間 $\mathcal{E}_1 = H^{1+\alpha}_0(\Omega) \times H^\alpha(\Omega)$ に有界であることが示された。
• 時間1ステップ写像 $S_1$ は、有界な吸収集合 $\mathcal{B}$ 上で、$\|S_1\xi_1 - S_1\xi_2\|_{\mathcal{E}_\alpha} \leq L\|\xi_1 - \xi_2\|_{\mathcal{E}}$ を満たすリプシッツ推移を満たし、指数的吸引子の存在を保証する。
• グローバル吸引子 $\mathcal{B} = \bigcup_{t \geq 0} S_t \mathcal{B}_R$ は $\mathcal{E}$ でコンパクトであり、正の不変性をもち、$\mathcal{E}_1$ に有界であるため、吸引子の滑らかさが保証された。
• 指数的吸引子の構成は、埋め込み $\mathcal{E}_\alpha \subset \mathcal{E}$ のコンパクト性と、$t \in [0,1]$ における $\mathcal{E}$-ノルムで一様リプシッツ連続な半群 $S_t$ の性質に依存している。