[論文レビュー] Strichartz estimates for Schrödinger equations with variable coefficients and potentials at most linear at spatial infinity

Haruya Mizutani|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2011

Advanced Mathematical Physics Problems被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、空間無限遠における線形成長を示す変数係数およびポテンシャルを有するシュレーディンガー方程式について、ハミルトニアンフローに非捕獲条件が成り立つものとして、局所的時間におけるストリッカーツ推移を確立する。主な貢献は、端点を除き微分の損失なしにこれらの推移を証明したことであり、従来の結果を長距離係数と非有界ポテンシャルの混合的状況へと拡張したものである。

ABSTRACT

In the present paper we consider Schrödinger equations with variable coefficients and potentials, where the principal part is a long-range perturbation of the flat Laplacian and potentials have at most linear growth at spatial infinity. We then prove local-in-time Strichartz estimates, outside a large compact set centered at origin, expect for the endpoint. Moreover we also prove global-in-space Strichartz estimates under the non-trapping condition on the Hamilton flow generated by the kinetic energy.

研究の動機と目的

• 空間無限遠における線形成長を示すポテンシャルを有する変数係数シュレーディンガー作用素に対してストリッカーツ推移を拡張すること。
• 従来の文献では変数係数または非有界ポテンシャルのいずれかが取り上げられていたが、長距離設定において両方を同時に扱う空白を埋めること。
• ハミルトニアンフローの非捕獲条件のもとで、端点を除き微分の損失なしに推移を確立すること。
• 微局所的およびハミルトニアン＝ヤコビ法を用いて、平坦または減衰するポテンシャルに関する既存の結果を線形成長ポテンシャルの状況へ一般化すること。

提案手法

• 変数係数シュレーディンガー作用素の文脈において、微局所解析および定常位相法を用いる。
• ハミルトニアン＝ヤコビ理論を用いて、周波数局所化領域でハミルトニアン＝ヤコビ方程式を満たす位相関数 $ \tilde{\Psi}_h $ を構成する。
• 補助関数 $ \chi $ を用いて、$ \Omega(R/2, J_1) $ に台を持つカットオフ関数を用いて、自由系と摂動系の間の滑らかな遷移を保証する修正位相 $ \tilde{\rho}_h $ を構築する。
• パラメトリックス構成および $ S(1,g) $ シンボルクラスを用いた擬微分作用素の計算により、位相展開における誤差項を制御する。
• ハミルトニアンフローおよびその微分の一様有界性に依拠し、$ X_h $, $ Y_h $, および $ \Xi_h $ の推移を用いて位相のずれを制御する。
• エネルギー保存則および微分推移推移を適用し、$ p_h(x, \partial_x \tilde{\Psi}_h) $ が $ p_h(x,\xi) $ に近いままであることを示し、位相が良好に制御されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変数係数および空間無限遠で線形に成長するポテンシャルを有するシュレーディンガー作用素に対して、ストリッカーツ推移を確立できるか？
• RQ2 ハミルトニアンフローの非捕獲条件が、このようなポテンシャル成長下で微分の損失を避けるのに十分か？
• RQ3 端点推移 $ (p,q) = (2, 2d/(d-2)) $ を除外しても、依然として完全な局所的時間推移が得られるか？
• RQ4 ポテンシャルが線形に成長する場合、平坦な場合を超えて、空間全域におけるストリッカーツ推移を長距離係数の摂動のもとで拡張できるか？
• RQ5 微局所的およびハミルトニアン＝ヤコビ的手法は、非有界ポテンシャルの存在下で、伝搬子の振動的挙動をどのように制御するか？

主な発見

• 原点を中心とする大きなコンパクト集合を除き、局所的時間におけるストリッカーツ推移が、変数係数および線形成長を示すポテンシャルを有するシュレーディンガー作用素に対して成り立つ。端点を除く。
• ハミルトニアンフローが運動エネルギーから生成されるもので非捕獲であれば、微分の損失なしに推移が成立する。
• 非捕獲条件のもとで、空間全域におけるストリッカーツ推移が証明され、非有界ポテンシャルへの適用範囲が拡張された。
• 位相関数 $ \Psi_h $ はハミルトニアン＝ヤコビ理論およびカットオフ技術を用いて構成され、振動積分核の均一な制御が保証される。
• ハミルトニアンベクトル場のフローから導かれる $ Y_h $ および $ \Xi_h $ の微分推移により、それぞれ $ O(\delta R^{1-|\alpha|}) $ および $ O(\delta R^{-|\alpha|}) $ の有界性が得られる。
• エネルギー保存則 $ p_h(x, \partial_x \tilde{\Psi}_h) = p_h(Y_h, \xi) $ により、位相が元のシンボルに近いまま保たれ、均一推移が可能となる。