[論文レビュー] Strict Convexity of the Surface Tension for Non-convex Potentials

Stefan Adams, Roman Kotecký+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、低温および小傾き界面において、非凸な相互作用を有する格子勾配モデルの表面張力の厳密な凸性を、多スケールレノルマライゼーション群（RG）手法を用いて確立する。これは、FunakiとSpohnの先行研究（厳密に凸なポテンシャルを仮定）を拡張し、微視的相互作用が非凸であっても、表面張力が依然として厳密に凸であることを証明するものである。

ABSTRACT

We study gradient models on the lattice $\mathbb{Z}^d$ with non-convex interactions. These Gibbs fields (lattice models with continuous spin) emerge in various branches of physics and mathematics. In quantum field theory they appear as massless field theories. Even though our motivation stems from considering vector valued fields as displacements for atoms of crystal structures and the study of the Cauchy-Born rule for these models, our attention here is mostly devoted to interfaces, with the gradient field as an \emph{effective} interface interaction. In this case we prove the strict convexity of the surface tension (interface free energy) for low temperatures and sufficiently small interface tilts using muli-scale (renormalisation group analysis) techniques following the approach of Brydges and coworkers \cite{B07}. This is a complement to the study of the high temperature regime in \cite{CDM09} and it is an extension of Funaki and Spohn's result \cite{FS97} valid for strictly convex interactions.

研究の動機と目的

• 非凸な微視的相互作用を有する格子勾配モデルにおける表面張力の一様凸性を確立すること。
• 離散的回転対称性を有さないモデルへまで、厳密なレノルマライゼーション群手法を拡張すること。
• 非凸勾配モデルにおける低温・小傾き界面の表面張力の厳密な凸性を証明すること。
• [CDM09]の高温領域における結果を補完し、低温領域を分析すること。
• FunakiとSpohnの厳密に凸な相互作用に関する結果を、多スケール解析を用いて非凸ポテンシャルへ一般化すること。

提案手法

• Brydgesの枠組みに従い、非凸相互作用を扱うために多スケール（レノルマライゼーション群）解析を用いる。[Bry09]を参照。
• ギブス測度の有限範囲分解を用い、異なるスケールで系を段階的に粗視化する。
• ポリマー関数形と理想ハミルトニアンを定義し、各スケールにおける有効相互作用を表現する。
• スケール間での相互作用項の変化を追跡するため、レノルマライゼーション変換 $ T_k: (H_k, K_k) o (H_{k+1}, K_{k+1}) $ を適用する。
• 熱力学的極限における収束性および厳密な凸性を保証するため、初期条件の微調整を実施する。
• 正則性の損失を伴う陰関数定理を用いて、表面張力の微分可能性および解析性を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 低温における非凸相互作用を有する勾配モデルでも、表面張力は依然として厳密に凸であるか？
• RQ2 離散的回転対称性を欠くモデルへまで、多スケールレノルマライゼーション群手法を拡張可能か？
• RQ3 相互作用ポテンシャルの凸性の喪失が、表面張力の微分可能性および凸性に与える影響は何か？
• RQ4 相互作用ポテンシャルおよび温度にどのような条件を課すと、表面張力の厳密な凸性が保証されるか？
• RQ5 正則性の損失を伴う陰関数定理を用いて、非凸モデルにおける表面張力の滑らかさおよび厳密な凸性を証明可能か？

主な発見

• 表面張力は、低温および十分に小さな界面傾きの範囲で、相互作用ポテンシャル $ W $ が非凸であっても厳密に凸である。
• 厳密な凸性は、スケール間での相互作用項の進化を追跡する多スケールレノルマライゼーション群アプローチにより確立される。
• 対称性の欠如および非凸性に対処するため、初期条件の微調整と正則性損失付き陰関数定理を用いる。
• この結果により、FunakiとSpohnの定理が厳密に凸な場合から非凸ポテンシャルへ一般化され、より現実的なモデルへの適用範囲が拡張される。
• 表面張力はすべての $ m $ に対して $ C^m $-滑らかであり、$ m $ 階微分まで連続なペアノ微分が存在することを示し、厳密な凸性が保証される。
• 解析により、微視的ポテンシャル $ V $ が非凸であっても、$ \beta $ が大きくかつ傾きが小さい限り、表面張力が依然として厳密に凸であることが確認された。