[論文レビュー] Strict Ideal Completions of the Lambda Calculus

Patrick Bahr|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Logic, programming, and type systems参考文献 3被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、ケナウェイらの度代数的計算に基づくものとは異なり、理想完備化に基づく無限項ラムダ計算を導入し、それらが保守的な拡張となるようにしている。無限個の⊥ルールの代わりに、2つの明確な厳密性ルールλx.⊥→⊥と⊥M→⊥を導入することにより、恣意的な発散処理を必要とせず、無限項正規化と結合性を達成しており、正規形はボーマー型の木と一致する。

ABSTRACT

The infinitary lambda calculi pioneered by Kennaway et al. extend the basic lambda calculus by metric completion to infinite terms and reductions. Depending on the chosen metric, the resulting infinitary calculi exhibit different notions of strictness. To obtain infinitary normalisation and infinitary confluence properties for these calculi, Kennaway et al. extend beta-reduction with infinitely many `bot-rules', which contract meaningless terms directly to bot. Three of the resulting Böhm reduction calculi have unique infinitary normal forms corresponding to Böhm-like trees. In this paper we develop a corresponding theory of infinitary lambda calculi based on ideal completion instead of metric completion. We show that each of our calculi conservatively extends the corresponding metric-based calculus. Three of our calculi are infinitarily normalising and confluent; their unique infinitary normal forms are exactly the Böhm-like trees of the corresponding metric-based calculi. Our calculi dispense with the infinitely many bot-rules of the metric-based calculi. The fully non-strict calculus (called 111) consists of only beta-reduction, while the other two calculi (called 001 and 101) require two additional rules that precisely state their strictness properties: lambda x.bot -> bot (for 001) and bot M -> bot (for 001 and 101).

研究の動機と目的

• 度代数的完備化の代わりに理想完備化を用いた無限項ラムダ計算の開発。
• ボーマー還元における無限個の⊥ルールの必要性を排除し、2つの明確なルールで厳密性を捉えること。
• 度代数的計算に保守的な拡張を保ちつつ、無限項正規化と結合性を維持すること。
• 理想完備化が全項において、度代数的完備化と同一の無限項および極限をもたらすことを示すこと。
• 新しい計算体系の唯一の正規形が、正確にボーマー型の木に対応することを確立すること。

提案手法

• 厳密性を示す三重組(a,b,c)でパラメータ化された、有限ラムダ項に⊥を含む部分順序≤a⊥を定義する。
• (Λ⊥, ≤a⊥)の有向かつ上界をもつ部分集合の集合である理想完備化ΛI,a⊥を構成し、完全な半順序集合を形成する。
• 誘導される非アーベル距離の等長性により、理想完備化が度代数的完備化と同一の無限項をもたらすことを証明する。
• β還元と2つの厳密性ルール（λx.⊥→⊥（001用）および⊥M→⊥（001および101用））に基づく超限抽象還元系を導入する。
• 理想完備化における下限が全項において度代数的極限と一致することを示し、保守的拡張を保証する。
• 構造的帰納法と位置解析（P(M)および高さ関数を用いて）により、⇓d_a(I)の有限性および収束性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 度代数的完備化を用いず、理想完備化を用いることで、結合性や正規化といった重要な性質を保持した無限項ラムダ計算を構築できるか？
• RQ2 度代数的ボーマー還元における無限個の⊥ルールを、厳密性を正確に捉える有限個のルールに置き換えられるか？
• RQ3 理想完備化に基づく計算体系は、項構造および収束性の観点から、それに対応する度代数的計算に保守的に拡張されるか？
• RQ4 理想完備化計算体系の唯一の正規形は、既知のボーマー型の木（例：ボーマー木、レヴィ＝ロンゴ木、ベラルトゥッチ木）と等価か？
• RQ5 度代数的⊥ルールを一切用いず、構造的ルールのみで001および101計算体系において無限項結合性を達成できるか？

主な発見

• 部分順序≤a⊥に関してラムダ計算の理想完備化は、それに対応する度代数的完備化と同一の無限項の集合をもたらす。
• 理想完備化における非アーベル距離da_Iは、度代数的完備化(da, ΛM,a⊥)と等長であり、全項における収束行動が同一であることを保証する。
• 理想完備化に基づく計算体系は、⊥を含まない項において、度代数的計算体系を保守的に拡張しており、同じ極限を持つ。
• 001、101、111計算体系は、β還元と2つの厳密性ルールλx.⊥→⊥および⊥M→⊥のみを用いて、無限項結合性と正規化を達成する。
• これらの計算体系の唯一の正規形は、正確にボーマー型の木に対応する：ボーマー木（111）、レヴィ＝ロンゴ木（001）、ベラルトゥッチ木（101）。
• 証明により、任意の理想Iに対して⇓d_a(I)が有限であることが示され、これは等長性および収束性の結果において極めて重要である。