[論文レビュー] Strict Physicality of Global Weak Solutions of a Navier-Stokes Q-tensor System with Singular Potential

Mark Wilkinson|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2012

Liquid Crystal Research Advancements参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、Qテンソルの固有値を物理的区間に制約することで、特異的ポテンシャルを有するナビエ＝ストークス Qテンソル系に対して、時間全域における弱解の存在を確立する。凸性と比較原理を用いることで、2次元ではより高い正則性と一様なバウンディングが得られ、極限における強収束を可能にし、解の物理的妥当性を確認する。

ABSTRACT

We study the existence, regularity and so-called `strict physicality' of weak solutions of a coupled Navier-Stokes Q-tensor system which is proposed as a model for the incompressible flow of nematic liquid crystal materials. An important contribution to the dynamics comes from a singular potential introduced by John Ball and Apala Majumdar (Nematic Liquid Crystals: From Maier-Saupe to a Continuum Theory, Mol. Cryst. Liq. Cryst., Vol. 525: pp. 1-11, 2010) which replaces the commonly employed Landau-de Gennes bulk potential. This is built into our model to ensure that a natural physical constraint on the eigenvalues of the Q-tensor order parameter is respected by the dynamics of the system.

研究の動機と目的

• Qテンソルの固有値に物理的制約を課す特異的ポテンシャルを有する、結合されたナビエ＝ストークス Qテンソル系に対して、時間全域における弱解の存在を確立すること。
• これらの弱解が「厳密な物理的妥当性」を満たすことを証明すること、すなわち、すべての時間において固有値が物理的に許容可能な区間に留まることを意味する。
• 特異的ポテンシャルの物理的妥当性と凸性を活用することで、2次元空間において、時間全域における弱解のより高い正則性を示すこと。
• 切り捨てられた問題と強解を用いた厳密な近似スキームを構築し、コンパクトネスの議論に不可欠な一様バウンディングを導出すること。
• 収束とエネルギー推定を通じて、極限における弱解が物理的性質および正則性を保つことを保証すること。

提案手法

• Qテンソルの固有値が物理的区間に留まるように保証するため、対称かつトレースレスな行列上で定義される凸関数であるボール＝マジュムダール特異的ポテンシャルを用いる。
• 有限次元の切断を用いたガレルキン近似スキームを採用し、正則化された系の近似解 $ Q^{(M)} $ と $ u^{(M)} $ を構成する。
• 関連する放物型系の強解 $ R^{(M)} $ と近似解 $ Q^{(M)} $ の間の比較原理を適用し、$ L^rown ext{infty} $ バウンディングを導出する。
• 近似解に $ abla u^{(M)} $、$ abla riangle Q^{(M)} $、および非線形項を含む高階エネルギー恒等式を導出し、微分不等式を得る。
• ラジヤンツァの不等式と $ abla u^{(M)} $、$ abla Q^{(M)} $、$ riangle Q^{(M)} $ の一様バウンディングを用いて非線形項を制御し、グローヴァル型推定を得る。
• オービン＝ライオンズのコンパクトネスを適用し、$ L^2_t H^2_x $ および $ L^2_t H^1_{ ext{div}} $ 内で強収束する部分列を抽出することで、極限が弱い意味で系を満たすことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ナビエ＝ストークス Qテンソル系に特異的ポテンシャルを導入した場合、Qテンソルの固有値に物理的制約を課す時間全域における弱解を構成可能か？
• RQ2 ボール＝マジュムダール特異的ポテンシャルの使用により、弱解が常に物理的区間内に固有値を保つ「厳密な物理的妥当性」が保証されるか？
• RQ3 特異的ポテンシャルの物理的妥当性と凸性を活用することで、2次元空間において時間全域における弱解のより高い正則性を確立可能か？
• RQ4 近似解に対して得られる一様バウンディングは、極限における弱解への収束を保証するために不可欠であるか？
• RQ5 エネルギー推定と比較原理を組み合わせることで、非線形項を制御し、エネルギー関数に対するグローヴァル型不等式を導出可能か？

主な発見

• 2次元または3次元トーラス上でのナビエ＝ストークス Qテンソル系に、特異的ボール＝マジュムダールポテンシャルを用いた場合、時間全域における弱解が存在する。
• 弱解は厳密な物理的妥当性を満たす：ポテンシャル $ ho $ の凸性のおかげで、すべての $ t > 0 $ において $ Q(ullet,t) $ の固有値は物理的区間に留まる。
• 近似解 $ Q^{(M)} $ は $ L^rown ext{infty}_t H^2_x imes L^2_t H^3_x $ で一様に有界であり、$ u^{(M)} $ は $ L^rown ext{infty}_t H^1_{ ext{div}} imes L^2_t H^2_{ ext{div}} $ で $ M $ に依存せずに一様に有界である。
• エネルギー関数 $ rown ext{F}^{(M)} $ は微分不等式 $ rac{d}{dt}rown ext{F}^{(M)} riangleq C_0 (rown ext{F}^{(M)})^2 + C_1 $ を満たし、グローヴァルの不等式により一様有界性が得られる。
• オービン＝ライオンズのコンパクトネスを用いて、$ Q^{(M)} $ が $ L^2_t H^2_x $ で、$ u^{(M)} $ が $ L^2_t H^1_{ ext{div}} $ で強収束することが確立され、極限が弱い意味で系を満たすことが保証される。
• 2次元では、厳密な物理的妥当性と一様バウンディングのおかげで、時間全域における弱解の正則性が向上し、$ H^2 $ および $ H^3 $ ノルムにおいて一様に有界であることが示される。