[論文レビュー] Strict self-adjointness and shallow water models

Priscila Leal da Silva, Igor Leite Freire|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2013

Nonlinear Waves and Solitons被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、第3階の浅水域方程式のクラスにおける厳密自己随伴性を調査し、カマッサ＝ホルム方程式とノヴィコフ方程式を統一する1パラメータ族の微分方程式を導出する。スケーリング不変性と保存ベクトルに対するイブラヒモフの手法を用いて、ハミルトニアン構造の根幹を成す保存密度 $ u^2 + \varepsilon u_x^2 $ が、厳密自己随伴性から自然に生じることを示し、この性質と非線形波動モデルにおける可積分性との間に深い関係があることを示唆する。

ABSTRACT

We consider a class of third order equations from the point of view of strict self-adjointness. Necessary and sufficient conditions to the investigated class be strictly self-adjoint are obtained. Then, from a strictly self-adjoint subclass we consider those who admits a suitable scaling transformation. Consequently it is derived a family of equations including the Benjamin-Bona-Mahony, Camassa-Holm and Novikov equation. By a suitable choice of the parameters, we deduce an one-parameter family of equations unifying the last two mentioned equations. Then, using some recent techniques for constructing conserved vectors, we show that from the scale invariance it is obtained as a conserved density the same quantity employed to construct one of the well known Hamiltonians for the cited integrable equations.

研究の動機と目的

• 第3階の浅水域方程式のクラスにおける厳密自己随伴性の必要十分条件を特定すること。
• スケーリング対称性を有する方程式の部分集合を特定し、1パラメータ族の構成を可能とすること。
• パラメータの選択により、カマッサ＝ホルム方程式とノヴィコフ方程式を1つの族に統合すること。
• 厳密自己随伴方程式に対して、イブラヒモフの手法を用いて保存密度を導出すること。
• 非線形波動モデルにおける厳密自己随伴性と可積分性との関係を検討すること。

提案手法

• 随伴方程式の技法を用いて、一般の第3階偏微分方程式クラスにおける厳密自己随伴性の必要十分条件を導出する。
• スケーリング変換を適用して同次性の性質を有する部分集合を同定し、1パラメータ族の微分方程式に到達する。
• スケーリング対称性の生成子 $ X_b = u\partial_u - b t \partial_t $ を用いて不変解および保存量を同定する。
• 対称性と厳密自己随伴性を組み合わせて局所保存則を構成する、イブラヒモフの最近の手法を適用する。
• 厳密自己随伴性を介して非局所保存ベクトルを局所的ものに変換し、物理的に意味のある保存密度を導出する。
• 得られた保存密度 $ u^2 + \varepsilon u_x^2 $ が、可積分系の文脈で用いられる標準的なハミルトニアン密度と一致することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの第3階の浅水域方程式が厳密自己随伴的であり、その性質を満たすための必要十分条件は何か？
• RQ2 スケーリング対称性を介して、カマッサ＝ホルム方程式とノヴィコフ方程式を統合する1パラメータ族の微分方程式を導出可能か？
• RQ3 厳密自己随伴性が、対称性に基づく保存則構成法により、既知の保存密度（例：$ u^2 + \varepsilon u_x^2 $）を回復するか？
• RQ4 非線形分散波動方程式において、厳密自己随伴性と可積分性との間に構造的関係があるか？
• RQ5 導出された族内には、カマッサ＝ホルム方程式およびノヴィコフ方程式の他に、追加の可積分方程式が存在するか？

主な発見

• 一般の第3階偏微分方程式クラスに対して、厳密自己随伴性の必要十分条件が導出され、このような方程式の体系的分類が可能となった。
• カマッサ＝ホルム方程式とノヴィコフ方程式がそれぞれ $ b=1 $ および $ b=2 $ で対応する1パラメータ族の微分方程式が構成された。
• 可積分方程式のハミルトニアン形式の根幹を成す保存密度 $ u^2 + \varepsilon u_x^2 $ が、イブラヒモフの手法を介して局所保存則として回復された。
• この手法により、厳密自己随伴性が非局所保存ベクトルを局所的ものに変換できることを確認し、保存量の物理的意味が保証された。
• BBM方程式は厳密自己随伴的であるが可積分ではないことが判明し、厳密自己随伴性のみでは可積分性が保証されないことが示された。
• 式 (33) が2つの既知の可積分方程式を統合しており、すべてのメンバーにおいて厳密自己随伴性が保たれている一方、$ b $-方程式族は $ B=2 $ のみで厳密自己随伴的であるため、本族はより優れた性質を持つ。