[論文レビュー] Strictly convex space : Strong orthogonality and Conjugate diameters

‎Debmalya Sain, Kallol Paul+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2014

Advanced Banach Space Theory参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Birkhoff-James直交性を用いた厳密に凸なノルム線形空間の特徴付けを確立する。空間が厳密に凸であるための必要十分条件は、すべての単位ベクトル $x, y$ に対して、Birkhoff-James直交性 $x mid_B y$ が成り立つならば強直交性 $x mid_{SB} y$ が成り立つことである。主な貢献は、Hamel基底がBirkhoff-James意味で強正規直交基底であるための必要十分条件の特定であり、2次元の厳密に凸空間における共役直径とそれらの基底との関係の確立である。

ABSTRACT

In a normed linear space X an element x is said to be orthogonal to another element y in the sense of Birkhoff-James, written as $ x \perp_{B}y, $ iff $ \| x \| \leq \| x + λy \| $ for all scalars $ λ.$ We prove that a normed linear space X is strictly convex iff for any two elements x, y of the unit sphere $ S_X$, $ x \perp_{B}y $ implies $ \| x + λy \| > 1~ \forall~ λ eq 0. $ We apply this result to find a necessary and sufficient condition for a Hamel basis to be a strongly orthonormal Hamel basis in the sense of Birkhoff-James in a finite dimensional real strictly convex space X. Applying the result we give an estimation for lower bounds of $ \| tx+(1-t)y\|, t \in [0,1] $ and $ \| y + λx \|, ~\forall ~λ$ for all elements $ x,y \in S_X $ with $ x \perp_B y. $ We find a necessary and sufficient condition for the existence of conjugate diameters through the points $ e_1,e_2 \in ~S_X $ in a real strictly convex space of dimension 2. The concept of generalized conjuagte diameters is then developed for a real strictly convex smooth space of finite dimension.

研究の動機と目的

• Birkhoff-James直交性と強直交性の関係を用いて、厳密に凸なノルム線形空間を特徴付けること。
• 有限次元の実厳密に凸空間において、Hamel基底がBirkhoff-James意味で強正規直交基底であるための必要十分条件を特定すること。
• 2次元実厳密に凸ノルム線形空間の単位球面上における共役直径の存在と構造を調査すること。
• 共役直径の概念を高次元の厳密に凸で滑らかな空間に一般化し、Radon曲線と関連付けること。
• 厳密に凸空間における直交するベクトルの線形結合のノルムに対する下界を提供すること。

提案手法

• ノルム線形空間 $X$ が厳密に凸であるための必要十分条件として、すべての $x, y \in S_X$ に対して $x \perp_B y$ ならば $x \perp_{SB} y$ であることを証明すること。
• この特徴付けを用いて、Birkhoff-James意味での強正規直交Hamel基底であるための必要十分条件を導出すること。
• Birkhoff-James直交性 $x \perp_B y$ を満たす $x, y$ に対して、$\|y + \lambda x\|$ の下界を確立し、厳密に凸空間では $\|y + \lambda x\| > \frac{1}{2}$ が成り立つことを示すこと。
• 2次元の厳密に凸空間において、$e_1, e_2$ を通る直径のペアを、$e_1 \perp_B e_2$ かつ $e_2 \perp_B e_1$ を満たす場合に共役直径と定義し、その存在が $\{e_1, e_2\}$ がBirkhoff-James意味で強正規直交Hamel基底であるための必要十分条件であることを証明すること。
• 高次元に一般化する際には、$n$ 個の直径の集合が、すべてのペアが共役である場合に一般化された共役直径と定義すること。
• 2次元の実厳密に凸で滑らかな空間がRadon曲線を単位球面として持つための必要十分条件として、単位球面上の任意の点がBirkhoff-James意味での強正規直交Hamel基底に含まれることであることを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノルム線形空間において、Birkhoff-James直交性が強Birkhoff-James直交性を含意するのはいつか？
• RQ2 有限次元の実厳密に凸空間において、Hamel基底がBirkhoff-James意味で強正規直交基底であるための必要十分条件は何か？
• RQ3 2次元の厳密に凸空間の単位球面上の2つの直径が、いつ共役直径とみなされるか？
• RQ4 共役直径の概念を高次元の厳密に凸で滑らかな空間にどのように一般化できるか？
• RQ5 単位球面がRadon曲線であるのと、球面上の各点を含む強正規直交Hamel基底の存在との間にどのような関係があるか？

主な発見

• 実ノルム線形空間 $X$ が厳密に凸であるための必要十分条件は、すべての $x, y \in S_X$ に対して $x \perp_B y$ ならば $x \perp_{SB} y$ が成り立つことである。
• 有限次元の実厳密に凸空間において、Hamel基底 $\{e_1, \dots, e_m\}$ がBirkhoff-James意味で強正規直交基底であるための必要十分条件は、$\max_i S_i = 1$ であることである。ここで $S_i$ は、任意の単位ベクトルの $e_i$ に関する表現における係数の絶対値の集合である。
• すべてのスカラー $\lambda$ に対して、$x, y \in S_X$ かつ $x \perp_B y$ を満たすとき、$\|y + \lambda x\| \geq \frac{1}{2}$ が成り立ち、$X$ が厳密に凸であるならば $\|y + \lambda x\| > \frac{1}{2}$ が成り立つ。
• 2次元の実厳密に凸空間において、単位球面 $S_X$ が $e_1, e_2$ を通る共役直径のペアを持つための必要十分条件は、$\{e_1, e_2\}$ がBirkhoff-James意味で強正規直交Hamel基底であることである。
• 2次元の実厳密に凸で滑らかな空間がRadon曲線を単位球面として持つための必要十分条件は、単位球面上のすべての点がBirkhoff-James意味での強正規直交Hamel基底に含まれることである。
• 有限次元の実厳密に凸で滑らかな空間における一般化された共役直径は、$n$ 個の直径の集合として定義され、すべてのペアが共役である場合を指す。このような集合は、例えば $\ell^n_p$（$1 < p < \infty$）において存在する。