[論文レビュー] Strictly self-similar fractals composed of star-polygons that are attractors of Iterated Function Systems

Vassil Tzanov|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、正則な星形多角形から厳密に自己相似なフラクタルを構築するための一般化された反復関数系（IFS）フレームワークを提示する。具体的には、シエルピンスキー $n$-角形と $n$-フラクタルを対象とする。非自己交差構造を保証するための正確なスケーリング比 $P(n,m)$ を導出し、ヒルベルト次元が 1 である $∞$-角形と 2 である $∞$-フラクタルであることを証明する。また、IFSに基づくランダムウォークによる可視化のためのMATLABコードを併記する。

ABSTRACT

In this paper are investigated strictly self-similar fractals that are composed of an infinite number of regular star-polygons, also known as Sierpinski $n$-gons, $n$-flakes or polyflakes. Construction scheme for Sierpinsky $n$-gon and $n$-flake is presented where the dimensions of the Sierpinsky $\infty$-gon and the $\infty$-flake are computed to be 1 and 2, respectively. These fractals are put in a general context and Iterated Function Systems are applied for the visualisation of the geometric iterations of the initial polygons, as well as the visualisation of sets of points that lie on the attractors of the IFS generated by random walks. Moreover, it is shown that well known fractals represent isolated cases of the presented generalisation. The IFS programming code is given, hence it can be used for further investigations.

研究の動機と目的

• 反復関数系（IFS）を用いて、正則な星形多角形から厳密に自己相似なフラクタルを生成するための包括的かつ普遍的な手法を開発すること。
• シエルピンスキー $n$-角形および $n$-フラクタルにおいて、自己交差を回避するためのスケーリング比 $P(n,m)$ の閉形式表現を導出すること。
• 極限フラクタルのヒルベルト次元を計算・証明し、特に $∞$-角形の次元が 1 であり、$∞$-フラクタルの次元が 2 であることを示すこと。
• これらのフラクタルを可視化し、さらなる研究を可能にするための、機能的なMATLAB IFSランダムウォークジェネレータを提供すること。
• 異なる初期の星形多角形が、同じIFS吸引子を生成する可能性を示し、フラクタル形状を決定づける主要なパラメータを同定すること。

提案手法

• 星形多角形 $∗{n/m}$ の中心角および弦長に着目した幾何学的法則を用いて、スケーリング比 $P(n,m)$ を導出。これにより、重複や自己交差を回避するコピーが得られる。
• ヒューリッツォン＝バーンズレーの定理を適用し、IFSの固定点としてフラクタル吸引子の存在と一意性を確立する。
• $n$-角形には $n$ 個の収縮写像を、$n$-フラクタルには追加の中心写像を用いる。回転とスケーリングを組み合わせることで、自己交差のない構造を生成する。
• 偶数 $n$ と奇数 $n$ に対して異なる規則を用いる、$n$-フラクタルの普遍的構築スキームを導入。導出された回転およびスケーリングパラメータにより、交差を回避する。
• IFSフレームワーク内でのランダムウォークアルゴリズムを用いて吸引子をシミュレート・可視化する。中心写像の回転をサポートするMATLAB実装を提供する。
• 自己相似性に基づいて反復回数とスケーリング係数を計算し、吸引子の幾何的性質を解析することで、フラクタル次元を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シエルピンスキー $n$-角形の構築において、$∗{n/m}$-多角形の $n$ 回スケーリングされたコピーが自己交差しないようにするためのスケーリング比 $P(n,m)$ は何か？
• RQ2 無限回のIFS反復によって生成される極限の $∞$-角形および $∞$-フラクタルのヒルベルト次元は何か？
• RQ3 異なる初期の星形多角形が同じIFS吸引子を生成できるか？ もしそうであるならば、その結果としてのフラクタル形状を決定づけるパラメータは何か？
• RQ4 偶数 $n$ および奇数 $n$ の両方に対して、非自己交差 $n$-フラクタルを生成するための、普遍的なIFS構築法をどのように一般化できるか？
• RQ5 中心写像の回転とスケーリングが、非自己交差 $n$-フラクタル構造を達成するために果たす役割は何か？

主な発見

• スケーリング比 $P(n,m)$ は、幾何学的に $P(n,m) = \frac{1}{2\sin(\pi m/n)}$ として導出され、自己交差のないシエルピンスキー $n$-角形を保証する。
• シエルピンスキー $∞$-角形のヒルベルト次元は、厳密に 1 であることが証明され、その一次元的・直線的構造と整合的である。
• $∞$-フラクタルのヒルベルト次元は 2 であることが証明され、これは平面的・空間埋め尽くしのフラクタル構造を示唆する。
• $F\{6,2\}[L^2,\pi/6]$ 吸引子の次元は 2 に計算され、特定の多角形ケースにおいても一般化が成立することを確認した。
• 同じIFS吸引子が、異なる初期の星形多角形からも生成可能であり、その形状を決定づける主要なパラメータはスケーリング比 $P$ と回転対称性である。
• 中心写像の回転をサポートする、動作するMATLAB IFSランダムウォークジェネレータが提供され、導出されたすべてのフラクタルの可視化が可能となった。