[論文レビュー] Strictly stable distributions on convex cones

Youri Davydov, Ilya Molchanov+1 more|ArXiv.org|Dec 9, 2005

Stochastic processes and financial applications参考文献 37被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、結合安定なポアソン点過程を用いたLePage級数表現を通じて、凸錐上での厳密に安定な分布を構築する一般枠組みを確立する。二項点過程が曖昧およびより強い位相で安定分布に収束することを証明し、古典的極限定理を拡張し、半群上の調和解析を用いて安定指数αの取りうる値を同定する。応用は確率的集合、測度、特性関数に及ぶ。

ABSTRACT

Using the LePage representation, a strictly stable random element in a Banach space with $α\in(0,2)$ can be represented as a sum of points of a Poisson process. This point process is union-stable, i.e. the union of its two independent copies coincides in distribution with the rescaled original point process. These concepts makes sense in any convex cone, i.e. in a commutative semigroup equipped with multiplication by numbers, and lead to a construction of stable laws in general cones by means of the LePage series. The corresponding limit theorem shows that random samples (or binomial point processes) converge in distribution to the union-stable Poisson point process, and so yields a limit theorem for normalised sums of random elements with $α$-stable limit for $α\in(0,1)$. By using the technique of harmonic analysis on semigroups we characterise distributions of $α$-stable random elements and show how possible values of $α$ relate to the properties of the semigroup and the corresponding scaling operation, in particular, their distributivity properties. The approach developed in the paper not only makes it possible to handle stable distributions in rather general cones (like spaces of sets or measures), but also provides an alternative way to prove classical limit theorems and deduce the LePage representation for strictly stable random vectors in Banach spaces.

研究の動機と目的

• バナッハ空間を超えて一般凸錐へと厳密に安定な分布の理論を拡張すること。
• 正規化された和がα ∈ (0,1) のα-安定分布に収束するための極限定理を、二項点過程の収束を用いて確立すること。
• 半群上の調和解析と錐の演算の分配的性質を用いて、安定指数αの取りうる値を同定すること。
• 抽象的凸錐におけるSαS確率的要素の一般LePage級数表現を提供すること。これには確率的測度空間や特性関数が含まれる。
• 半群論的枠組みにおいて、古典的安定分布および吸引域の結果を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• バナッハ空間における対称α-安定確率的要素を、バナッハ空間内のポアソン点過程の点の和としてLePage表現を用いて表現する。
• 凸錐における点過程の「結合安定性」の概念を導入し、2つの独立なコピーの和が元の過程のスケーリング版と同分布であることを定義する。
• 曖昧位相収束を適用して、一般錐内での二項点過程が結合安定ポアソン点過程に収束することを示し、その結果として和の収束がα-安定分布に導かれる。
• 半群上の調和解析を用いてSαS要素のラプラス変換を特徴付け、α-安定性の必要十分条件を導出する。
• レヴィ測度の積分表現を導出し、第二双対半群上のレヴィ測度から直接LePage級数を構成する。
• レヴィ測度の台と収束条件を分析し、特に確率的測度や特性関数の錐におけるLePage級数の収束を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸錐内での二項点過程が、曖昧位相で結合安定ポアソン点過程に分布収束する条件は何か？
• RQ2 与えられた凸錐内でのSαS分布に対して、安定指数αの取りうる値は何か？また、錐の代数的構造とはどのように関係するか？
• RQ3 凸錐内での厳密に安定な確率的要素がLePage級数表現をもつのはいつか？
• RQ4 確率的測度や特性関数の錐において、LePage級数の収束をどのように確立できるか？
• RQ5 錐の演算における分配的性質および部分不変性の性質が、SαS分布のα値の範囲を決定する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 一般凸錐内での二項点過程は、曖昧位相で結合安定ポアソン点過程に分布収束する。収束はより強い位相でも成立し、その結果として和の収束が保証される。
• α ∈ (0,1) の場合、凸錐内でのi.i.d.確率的要素の正規化された和は、分布収束によりSαS分布に収束する。これは古典的吸引域結果の一般化である。
• 安定指数αは半群構造によって制約を受ける。例えば、確率測度の錐ではα > 0が許容され、非自明なSαS分布ではα ≤ 2である。
• 特性関数の錐では、LePage級数が収束するための必要十分条件はβ > αであり、ここでβは級数に用いられるi.i.d.特性関数の指数である。このとき極限の指数はα/βとなる。
• SαS要素が抽象的錐内に存在する場合、レヴィ測度が特定の台および可積分性条件を満たしていればLePage級数表現が成立する。この表現は第二双対半群上のレヴィ測度から直接構成可能である。
• 可積分な確率測度に対しては、部分不変かつ同次的ノルムが存在し、すべてのα ∈ (0,1) に対してLePage級数が収束することが保証される。これは形状母数がガンマ分布に従う場合に明示的に示されている。