[論文レビュー] String and dilaton equations for counting lattice points in the moduli space of curves

Paul Norbury|arXiv (Cornell University)|May 26, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、曲線 $xy - y^2 = 1$ のEインァルド＝オラントゥインシンプレクティック不変量と、種数 $g$ の曲線のモジュライ空間のオルビフォールドオイラー特徴標数の間の直接的な対応を確立し、$g > 1$ に対して $F^{(g)} = \chi(\mathcal{M}_g)$ を証明する。不変量を特定の分岐被覆の重み付き数え上げとして解釈することで、トポロジカル再帰とモジュライ空間の数え上げ幾何学を結びつける、新しい再帰関係（ストリング方程式およびディラトン方程式）を導出する。

ABSTRACT

We prove that the Eynard-Orantin symplectic invariants of the curve xy-y^2=1 are the orbifold Euler characteristics of the moduli spaces of genus g curves. We do this by associating to the Eynard-Orantin invariants of xy-y^2=1 a problem of enumerating covers of the two-sphere branched over three points. This viewpoint produces new recursion relations---string and dilaton equations---between the quasi-polynomials that enumerate such covers.

研究の動機と目的

• 曲線 $xy - y^2 = 1$ のEインァルド＝オラントゥインシンプレクティック不変量に対する非再帰的公式を、モジュライ空間不変量の言いかえで確立すること。
• これらの不変量を、$S^2$ への分岐被覆を固定分岐度で数えるHurwitz型の数え上げ問題と結びつけること。
• 被覆を数える quasi-polynomials $N_{g,n}(b_1,\dots,b_n)$ 間の新しい再帰関係（ストリング方程式およびディラトン方程式）を導出すること。
• これらの数え上げの生成関数 $F^{(g)}_n$ が、曲線のEインァルド＝オラントゥイン不変量に一致することを示すこと。

提案手法

• $N_{g,n}(b_1,\dots,b_n)$ を、$\{0,1,\infty\}$ を除くところで分岐しない、$1$ で分岐度 $2$、$\infty$ で任意、$0$ で非自明な分岐を持つ、連結な種数 $g$ の $S^2$ への被覆の重み付き数え上げと定義する。重みは自己同型群の位数の逆数で与えられる。
• $N_{g,n}(b_1,\dots,b_n)$ が $b_i$ に関して対称な準多項式であり、$2\mathbb{Z}^n$ の剰余類上で多項式 $N^{(k)}_{g,n}$ に分解可能であり、変数として $b_i^2$ を用いることを示す。
• 生成関数 $F^{(g)}_n(z_1,\dots,z_n) = \sum_{b_i>0} N_{g,n}(b_1,\dots,b_n) z_1^{b_1}\cdots z_n^{b_n}$ を用い、$\mathbb{C}^n$ 上に有理型に拡張することで、Eインァルド＝オラントゥイン不変量を定義する。
• Eインァルド＝オラントゥイン形式的理論からの残留計算および再帰構造を用いて、$b_i = 1$ または $2$ を挿入するときの $N_{g,n}$ の挙動を解析することで、ストリング方程式およびディラトン方程式を導出する。
• $n=0$ の場合にディラトン方程式を適用し、既知の $\chi(\mathcal{M}_{g,1})$ の値を用いることで、シンプレクティック不変量 $F^{(g)}$ が $\chi(\mathcal{M}_g)$ に一致することを証明する。
• $(x,y) = (z+1/z, z)$ の場合の低種数不変量 $\omega^{g}_n$ の明示的計算により、結果を検証し、有理関数の表現と準多項式の数え上げが一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲線 $xy - y^2 = 1$ のEインァルド＝オラントゥインシンプレクティック不変量 $F^{(g)}$ は、$g > 1$ に対してオルビフォールドオイラー特徴標数 $\chi(\mathcal{M}_g)$ に等しいか？
• RQ2 Eインァルド＝オラントゥイン不変量は、分岐被覆の数え上げを通じて、曲線のモジュライ空間内の格子点の数え上げとして解釈可能か？
• RQ3 被覆を数える quasi-polynomials $N_{g,n}(b_1,\dots,b_n)$ 間に成り立つ再帰関係（ストリング方程式およびディラトン方程式）は何か？
• RQ4 シンプレクティック不変量 $F^{(g)}$ は、特に $n=0$ の場合に、$\mathcal{M}_{g,n}$ のオイラー特徴標数とどのように関係するか？
• RQ5 この曲線のEインァルド＝オラントゥイン不変量は、ストリング方程式およびディラトン方程式を用いて、$N_{g,n}$ から完全に再構成可能か？

主な発見

• 曲線 $xy - y^2 = 1$ のEインァルド＝オラントゥインシンプレクティック不変量 $F^{(g)}$ は、すべての $g > 1$ に対してオルビフォールドオイラー特徴標数 $\chi(\mathcal{M}_g)$ に等しいことが、$n=0$ の場合にディラトン方程式を適用することで証明された。
• $N_{g,n}(b_1,\dots,b_n)$ の被覆数の生成関数 $F^{(g)}_n(z_1,\dots,z_n)$ は、曲線のEインァルド＝オラントゥイン不変量 $\omega^{g}_n$ と一致し、数え上げ幾何学とトポロジカル再帰の間の直接的な関係を確立した。
• ストリング方程式は $N_{g,n+1}(1,b_1,\dots,b_n) = \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^{b_j} k N_{g,n}(b_1,\dots,b_n)\big|_{b_j=k}$ および $N_{g,n+1}(2,b_1,\dots,b_n) = \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^{b_j} k N_{g,n}(b_1,\dots,b_n)\big|_{b_j=k} - \frac{1}{2}\sum_{j=1}^n b_j N_{g,n}(b_1,\dots,b_n)$ であり、これらは種数 $0$ の準多項式を一意に定める。
• ディラトン方程式は $N_{g,n+1}(2,b_1,\dots,b_n) - N_{g,n+1}(0,b_1,\dots,b_n) = (2g-2+n)N_{g,n}(b_1,\dots,b_n)$ であり、これは準多項式 $N_{g,n}$ 間の関係として成り立ち、$N_{g,n}(0,\dots,0) = \chi(\mathcal{M}_{g,n})$ を満たす。
• 種数 $0$ では、$b_1+b_2+b_3$ が偶数のとき $N_{0,3}(b_1,b_2,b_3) = 1$、奇数のとき $0$ であり、この初期条件とストリング方程式を組み合わせることで、すべての $N_{0,n}$ が完全に決定される。
• 明示的計算により対応関係が確認された。例えば、$\omega^{(0)}_3(z_1,z_2,z_3) = \left\{ \frac{1}{2\prod(1-z_i)^2} - \frac{1}{2\prod(1+z_i)^2} \right\} \prod dz_i$ であり、これは $N_{0,3}$ の準多項式表現と一致する。