[論文レビュー] String Cohomology of a Toroidal Singularity

Lev Borisov|ArXiv.org|Feb 10, 1998

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 7被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、有理的で階数付きの錐 $ K $ の半群環 $ R = \mathbb{C}[K] $ における正則列を構成し、トロイダル特異点の局所的ストリング理論的コホロジーの候補として商 $ R/ZR $ を提案する。一般のベクトル $ \xi $ を用いた格子点の分解を通じて、ポincare双対性に類似した同型写像を確立し、このような半群環のコhen＝マカウレイ性に関するホッチャーの結果について、初等的な証明を提供する。

ABSTRACT

We construct explicitly regular sequences in the semigroup ring $R=\CC[K]$ of lattice points of the graded cone $K$. We conjecture that the quotients of $R$ by these sequences describe locally string-theoretic cohomology of a toroidal singularity associated to $K$. As a byproduct, we give an elementary proof of the result of Hochster that semigroup rings of rational polyhedral cones are Cohen-Macaulay.

研究の動機と目的

• $ N=(2,2) $ スーパーロンフォーマル場理論におけるトロイダル特異点の局所的寄与が、ストリング理論的コホロジーにどのように寄与するかを同定すること。
• 有理的で階数付きの錐 $ K $ に関連する半群環 $ R = \mathbb{C}[K] $ における正則列を構成すること。
• 有理的多面体錐の半群環がコHEN＝マカウレイ的であるというホッチャーの定理について、初等的な証明を提供すること。
• 鏡映性、特にA側との関係を関連づけ、GKZ超幾何系との接点を示唆すること。

提案手法

• 一般のベクトル $ \xi \in K^{\text{open}} $ を用いて、$ K $ の正則三角形分割 $ T $ の単体内の格子点の集合 $ B_{I,\xi} $ および $ B_{I,-\xi} $ を定義する。
• $ K \cap N $ および $ K^{\text{open}} \cap N $ を、$ b \in B_{I,\xi} $ または $ b \in B_{I,-\xi} $ であるような $ b + \sum_{i \in I} \mathbb{Z}_{\geq 0} e_i $ の直和に分解する。
• 生成関数 $ S(t) = (1-t)^r \sum_{n \in K \cap N} t^{\deg(n)} $ および $ T(t) = (1-t)^r \sum_{n \in K^{\text{open}} \cap N} t^{\deg(n)} $ を定義し、$ S(t) = \sum_{I,b \in B_{I,\xi}} t^{\deg(b)} $ および $ T(t) = \sum_{I,b \in B_{I,-\xi}} t^{\deg(b)} $ を示す。
• 分解と係数 $ a_i $ の選択を用いて、$ R = \mathbb{C}[K] $ および $ R $-加群 $ R^{\text{open}} = \mathbb{C}[K^{\text{open}}] $ に明示的な正則列 $ Z $ を構成する。
• 生成関数の双対性 $ S(t) = t^r T(t^{-1}) $ を用いて、$ R/ZR $ と $ R^{\text{open}}/ZR^{\text{open}} $ の間のポincare双対性同型写像を確立する。
• $ R^{\text{open}}/ZR^{\text{open}} $ を双対ホモロジー的空間として持つものとして、$ R/ZR $ が特異点の局所的ストリングコホロジーを表すと提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トロイダル特異点の局所的ストリング理論的コホロジーは、半群環 $ \mathbb{C}[K] $ における正則列を用いて明示的に記述可能だろうか？
• RQ2 トロイダル特異点におけるストリングコホロジーのポincare双対性構造は、代数的にどのように実現可能だろうか？
• RQ3 有理的多面体錐の半群環がコHEN＝マカウレイ的であるというホッチャーの結果について、初等的な証明は存在するだろうか？
• RQ4 構築されたコホロジー空間と、特にGKZ超幾何系の観点からA側の鏡映性との関係は何か？

主な発見

• 集合 $ K \cap N $ は、$ b \in B_{I,\xi} $ であるような $ b + \sum_{i \in I} \mathbb{Z}_{\geq 0} e_i $ の直和に分解され、$ K^{\text{open}} \cap N $ は $ b \in B_{I,-\xi} $ における直和に分解される。
• 生成関数は $ S(t) = \sum_{I,b \in B_{I,\xi}} t^{\deg(b)} $ および $ T(t) = \sum_{I,b \in B_{I,-\xi}} t^{\deg(b)} $ を満たし、$ S(t) = t^r T(t^{-1}) $ を満たす。
• 分解と係数 $ a_i $ を用いて、$ R = \mathbb{C}[K] $ および $ R $-加群 $ R^{\text{open}} = \mathbb{C}[K^{\text{open}}] $ に明示的な正則列 $ Z $ が構成される。
• $ R/ZR $ は、トロイダル特異点の局所的ストリングコホロジーであると提案され、$ R^{\text{open}}/ZR^{\text{open}} $ は双対ホモロジー空間として位置づけられる。
• $ R/ZR $ と $ R^{\text{open}}/ZR^{\text{open}} $ の間には、生成関数の双対性に裏付けられたポincare双対性同型写像が確立される。
• 分解と正則列を用いて、有理的多面体錐の半群環がコHEN＝マカウレイ的であるというホッチャーの定理について、初等的な証明が与えられる。