[論文レビュー] String Diagram Rewrite Theory II: Rewriting with Symmetric Monoidal Structure

Filippo Bonchi, Fabio Gadducci+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2021

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ひとこと要約

本稿は、Frobenius構造に依存しない新たな「凸」DPO書き換え機構を導入することで、対称モノイダル理論におけるストリング図の整合的かつ完全な二重押し出し（DPO）書き換え枠組みを構築する。ストリング図をハイパーグラフのコスパンとして組み合わせ的表現し、Frobenius半代数と双代数の2つの主要なSMTについて終了性を証明し、Frobenius代数を超える図式的書き換えの実用的応用を示した。

ABSTRACT

Symmetric monoidal theories (SMTs) generalise algebraic theories in a way that make them suitable to express resource-sensitive systems, in which variables cannot be copied or discarded at will. In SMTs, traditional tree-like terms are replaced by string diagrams, topological entities that can be intuitively thoughts as diagrams of wires and boxes. Recently, string diagrams have become increasingly popular as a graphical syntax to reason about computational models across diverse fields, including programming language semantics, circuit theory, quantum mechanics, linguistics, and control theory. In applications, it is often convenient to implement the equations appearing in SMTs as rewriting rules. This poses the challenge of extending the traditional theory of term rewriting, which has been developed for algebraic theories, to string diagrams. In this paper, we develop a mathematical theory of string diagram rewriting for SMTs. Our approach exploits the correspondence between string diagram rewriting and double pushout (DPO) rewriting of certain graphs, introduced in the first paper of this series. Such a correspondence is only sound when the SMT includes a Frobenius algebra structure. In the present work, we show how an analogous correspondence may be established for arbitrary SMTs, once an appropriate notion of DPO rewriting (which we call convex) is identified. As proof of concept, we use our approach to show termination of two SMTs of interest: Frobenius semi-algebras and bialgebras.

研究の動機と目的

• Frobenius代数にとどまらない、一般の対称モノイダル理論におけるストリング図の書き換えを拡張すること。
• Frobenius構造が存在しない状況において、整合的かつ完全な書き換えを達成する課題に取り組むこと。Frobenius構造が欠如すると、標準的なDPO対応関係が無効になるため。
• 対称モノイダル圏におけるストリング図を忠実に表現する、コスパンの組み合わせ的クラス（非巡回的かつ単一の入出力）を同定すること。
• 対称モノイダル法則のみに依存する書き換えを保証するように、変更されたDPO書き換え機構「凸DPOI」を考案すること。
• Frobenius半代数と双代数という2つの重要な対称モノイダル理論について、終了性を証明することで、本フレームワークの実用性を示すこと。

提案手法

• ストリング図をΣ型の辺をもつハイパーグラフのコスパンとして表現し、Frobenius依存性を排除するために非巡回的かつ単一の構造に焦点を当てる。
• DPO書き換えの新クラス「凸DPOI」を導入し、マッチングとプッシュアウト補完を制限することで、対称モノイダル構造のみに依存した整合性を確保する。
• ストリング図の書き換えと凸DPOI書き換えの間の形式的対応関係を確立し、整合性と完全性を証明する。
• 型付きハイパーグラフのアドヒビット圏構造を活用し、適切に振る舞うプッシュアウトと書き換えの閉包性を保証する。
• 非巡回性と単一性のアルゴリズム的チェックを用いて、書き換えシステムの効率的実装を可能にする。
• 臨界対解析を用いて、Frobenius半代数と双代数の2つのSMTについて、終了性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Frobenius構造が存在しない任意の対称モノイダル理論におけるストリング図の二重押し出し書き換えを、どのように整合的かつ完全に適応可能にすることができるか？
• RQ2 ハイパーグラフのコスパンに課されるどのような組み合わせ的制約が、Frobenius構造を除く対称モノイダル構造下で有効なストリング図を表すか？
• RQ3 対称モノイダル法則のみに依存し、Frobenius法則に依存しないように、変更されたDPO書き換え機構「凸DPOI」を定義可能か？
• RQ4 マッチングとプッシュアウト補完に課されるどのような条件が、書き換えが対称モノイダル構造を保存することを保証するか？
• RQ5 提案されたフレームワークを用いて、双代数やFrobenius半代数のような非FrobeniusのSMTについて、終了性を証明可能か？

主な発見

• Frobenius構造に依存しない、対称モノイダル圏におけるストリング図の正しい組み合わせ的表現として、非巡回的かつ単一のコスパンのクラスが同定された。
• 凸DPOI書き換え機構が形式的に定義され、対称モノイダル法則をモジュロとする書き換えに関して、整合的かつ完全であることが証明された。
• 書き換え条件（非巡回性と単一性）のアルゴリズム的検証が可能となり、効率的な実装を支援する。
• 提案された書き換えシステムを用いて、Frobenius半代数のSMTについて終了性が証明された。
• 双代数の理論に対しても終了性が確立され、本フレームワークが非自明でリソース感受性の高いシステムへの応用が可能であることが示された。
• 本研究は、Frobenius代数のような豊かな代数的構造を必要としない、対称モノイダル理論に基づく図式的証明支援システムの構築に向けた基盤を提供する。