[論文レビュー] String Diagram Rewrite Theory III: Confluence with and without Frobenius

Filippo Bonchi, Fabio Gadducci+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2021

Logic, programming, and type systems被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、インターフェースを備えた二重押し出し書き換え（DPOI）を用いたストリングダイアグラム書き換えシステムにおける結合性の決定可能性を確立している。臨界対解析を活用し、終了するDPOIシステムが結合的であるための必要十分条件は、すべての臨界対が結合可能であることであると証明しており、これはハイパーグラフ書き換えへのKnuth-Bendix性の拡張である。主な貢献は、Frobenius構造を有する・ないにかかわらず、対称モノイダル理論における結合性の決定可能な基準を提示したことである。非Frobeniusの場合には、凸マッチにおけるパス結合可能性を用いることで実現されている。

ABSTRACT

In this paper we address the problem of proving confluence for string diagram rewriting, which was previously shown to be characterised combinatorically as double-pushout rewriting with interfaces (DPOI) on (labelled) hypergraphs. For standard DPO rewriting without interfaces, confluence for terminating rewrite systems is, in general, undecidable. Nevertheless, we show here that confluence for DPOI, and hence string diagram rewriting, is decidable. We apply this result to give effective procedures for deciding local confluence of symmetric monoidal theories with and without Frobenius structure by critical pair analysis. For the latter, we introduce the new notion of path joinability for critical pairs, which enables finitely many joins of a critical pair to be lifted to an arbitrary context in spite of the strong non-local constraints placed on rewriting in a generic symmetric monoidal theory.

研究の動機と目的

• ストリングダイアグラム書き換えシステム（ハイパーグラフ上のDPOI書き換えとして形式化されたもの）における結合性の決定可能性を確立すること。
• Frobenius構造を欠く場合に標準的な臨界対解析が失敗するため、対称モノイダル理論（SMT）における結合性の課題を解決すること。
• 凸DPOI書き換えにおいて、任意の文脈にまで有限な結合を拡張できるようにするため、パス結合可能性を導入すること。
• 臨界対の有限解析に還元することで、SMTにおける結合性の検証を実用的かつ自動化可能な手順として提供すること。

提案手法

• インターフェースを備えた（ラベル付き）ハイパーグラフとしてストリングダイアグラムを形式化し、合成性を保つためにインターフェース付き二重押し出し書き換え（DPOI）を用いる。
• 終了するDPOIシステムにおける結合性が、すべての臨界対の結合可能性を検証することで決定可能であることを証明し、Knuth-Bendix性をこの文脈に一般化する。
• 特にFrobeniusでないSMTにおける非局所的効果を扱うために、凸DPOI書き換えにおけるパス結合可能性の概念を導入する。
• 最大パス関係の計算およびパス拡張の構築アルゴリズムを開発し、臨界対の結合可能性を検証する。
• バイア algebra や NLC システムなどの具体例にフレームワークを適用し、実用的な結合性検証を示す。
• 結果をQuantomatic やハイパーグラフベースの書き換えシステムと互換性のある計算パイプラインにエンコードする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイパーグラフ上のDPOI書き換えとして形式化された終了するストリングダイアグラム書き換えシステムにおいて、結合性は決定可能か？
• RQ2 非Frobenius対称モノイダル理論における凸マッチの非局所的制約を扱うために、臨界対解析をどのように適合できるか？
• RQ3 標準的な臨界対が不十分な凸DPOIシステムにおいて、パス結合可能性が有限で効果的な方法で結合性を検証できるか？
• RQ4 Frobenius構造の有無が、結合性の決定可能性および自動化の度合いにどの程度影響を与えるか？
• RQ5 提案手法を既存のストリングダイアグラムツールに実装し、等式理論の自動検証を支援できるか？

主な発見

• 終了するDPOI書き換えシステムにおける結合性は決定可能であり、ハイパーグラフ書き換えとインターフェースを備えた文脈にKnuth-Bendix性が一般化されている。
• Frobenius構造を有する対称モノイダル理論では、標準的な結合可能性による有限個の臨界対のチェックで結合性が決定可能である。
• 非Frobenius SMTでは、凸DPOI書き換えに加え、非局所的効果を処理するためのパス結合可能性を用いることで、結合性が決定可能である。
• 本稿では、凸書き換えにおける有限な臨界対の結合を任意の文脈にまで拡張できる、新しいメカニズムとしてパス結合可能性を導入した。
• パス拡張を計算するアルゴリズムは計算可能であり、NLCの例（22個の臨界対）で示されるように自動化可能である。
• 本フレームワークは、[37, 28, 24] に含まれる多くのSMTに適用可能であり、Quantomatic などのツールへの統合が容易である。