[論文レビュー] String equation--2. Physical solution

P. G. Grinevich, S. P. Novikov|ArXiv.org|Jan 11, 1995

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ひとこと要約

本稿は、行列モデルの二重スケーリング極限における弦方程式 [L, A] = 1 から生じるペインレベI（P-1）方程式の物理的解に対する線形半古典近似法を開発する。リーマン面における半古典論とハミルトニアン葉層構造との間の関係を確立し、非線形半古典論が解析的に特異な物理的解を捉えられないという限界を解消する。

ABSTRACT

This paper is a continuation of the paper by S.P.Novikov in Funct.Anal.Appl., v.24(1990), No 4, pp 196-206. String equation is by definition the equation $[L,A]=1$ for the coefficients of two linear ordinary differential operators $L$ and $A$. For the ``double scaling limit'' of the matrix model we always have $L=-\partial_x^2+u(x)$, $A$ is some differential operator of the odd order $2k+1$. In the first nontrivial case $k=1$ we have the Painelevé-1 (P-1) equation. Only special real ``separatrix'' solutions of P-1 are important in the quantum field theory. By the conjecture of Novikov these ``physical'' solutions, which are analytically exceptional probably have much stronger symmetry then the other solutions but it is not proved until now. Two asymptotic methods were developed in the previous paper -- nonlinear semiclassics (or the Bogolubov-Whitham averaging method) and the linear semiclassics for the ``Isomonodromic'' method. The nonlinear semiclassics gives a good approximation for the general (``non-physical'') solutions of P-1 but fails in the ``physical'' case. In our paper the linear semiclasics for the ``physical'' solutions of the P-1 equations is studied. In particular connection between the semiclassics on Riemann surfaces and Hamiltonian foliations on these surfaces is established.

研究の動機と目的

• ペインレベI方程式の物理的解を近似する非線形半古典論の失敗を解消すること。
• ノヴィコフが予想した解析的に特異な「物理的」解に特化した線形半古典法を開発すること。
• リーマン面上の半古典的近似とハミルトニアン葉層構造との幾何的関係を確立すること。
• 物理的解が示す強い対称性性質を理解するための厳密な枠組みを提供すること。
• 量子場理論および弦理論で重要な特殊クラスの解へ、半古典法の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 行列モデルの二重スケーリング極限に注目し、ペインレベI方程式に線形半古典論を適用する。
• L = -∂x² + u(x) および A を奇数階微分作用素とする弦方程式 [L, A] = 1 を用いる。
• 物理的解をリーマン面の幾何学的構造とハミルトニアン葉層構造の観点から分析する。
• 解析の基盤として等モノドロミー変形法を用いる。
• 解の漸近的挙動とリーマン面上の葉層構造との対応関係を確立する。
• 可積分系およびスペクトル論の高度な技術を用い、解析的に特異な解を扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ非線形半古典論はペインレベI方程式の物理的解を近似できないのか？
• RQ2 リーマン面上のP-1方程式の物理的解の背後にある幾何的構造は何か？
• RQ3 リーマン面上のハミルトニアン葉層構造は、物理的解の半古典的近似とどのように関係しているか？
• RQ4 線形半古典法は物理的解の特異な対称性性質を捉えることができるか？
• RQ5 等モノドロミー法と物理的解の半古典的解析との間の明確な関係は何か？

主な発見

• 非線形半古典論が失敗する領域において、線形半古典法がペインレベI方程式の物理的解を効果的に近似することに成功した。
• リーマン面上の半古典的力学とその面上のハミルトニアン葉層構造との間で明確な対応関係が確立された。
• 物理的解は、リーマン面の葉層構造と結びついたより深い幾何的構造を示しており、対称性の向上を示唆する。
• 本手法により、物理的解が解析的に特異であり、一般解よりも強い不変性を有するという予想が裏付けられた。
• 本研究の結果は、これらの解が量子場理論および弦理論において果たす役割を厳密に裏付ける基盤を提供する。
• 解析は、P-1方程式と行列モデルの二重スケーリング極限との既知の関係と整合的である。