[論文レビュー] String/Quantum Gravity motivated Uncertainty Relations and Regularisation in Field Theory

Achim Kempf|ArXiv.org|Dec 8, 1996

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、弦理論および量子重力からインspiredされた修正された不確定性関係を有する一般化された量子幾何学フレームワークを提案する。位置と運動量の分解能に有限の下限Δx₀とΔp₀を導入する。これらの下限は、経路積分表現を通じて、明示的なカットオフや反項を用いずに、高エネルギーおよび長波長の発散を自然に抑制する、内在的な紫外・赤外正則化を量子場理論にもたらす。

ABSTRACT

The possibility of the existence of small correction terms to the canonical commutation relations and the uncertainty relations has recently found renewed interest. In particular, such correction terms could induce finite lower bounds $Δx_0, Δp_0$ to the resolution of distances and/or momenta. I review a general framework for the path integral formulation of quantum field theories on such generalised geometries, and focus then on the mechanisms by which $Δp_0>0$, and/or $Δx_0>0$ lead to IR and/or UV regularisation.

研究の動機と目的

• 位置と運動量の分解能に有限の下限Δx₀とΔp₀をもたらす修正された交換関係の物理的意味を調査すること。
• このような修正された不確定性関係を有する一般化された幾何構造上での量子場理論の経路積分形式を構築すること。
• Δx₀ > 0およびΔp₀ > 0が、量子場理論における紫外・赤外発散を内在的に正則化するメカニズムとして機能する仕組みを明らかにすること。
• 外部のカットオフや反項を導入せずに、量子重力効果が発散を自然に抑制するフレームワークを確立すること。
• 非可換および変形された量子力学的構造と、場理論における正則化メカニズムとの関連を明らかにすること。

提案手法

• 修正された正準交換関係を有する一般化された幾何構造上での量子場理論の経路積分アプローチを定式化する。
• 変形された不確定性関係の結果として、最小長スケールΔx₀ > 0および最小運動量スケールΔp₀ > 0を導入する。
• 一般化不確定性原理（GUP）フレームワークを用いて、経路積分形式における修正された運動量および位置演算子を導出する。
• Δx₀ > 0が存在することにより高運動量（UV）モードが抑制され、Δp₀ > 0が存在することにより低運動量（IR）モードが抑制されることを示す。
• 経路積分における修正された測度を用いて、運動量空間および位置空間における発散積分を自然に正則化する。
• 変形パラメータΔx₀およびΔp₀が、場理論計算における従来のカットオフに代わる内在的正則化因子として機能することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限の下限Δx₀およびΔp₀を有する修正された不確定性関係が、量子場理論の構造に与える影響は何か？
• RQ2 交換関係にΔx₀ > 0およびΔp₀ > 0が存在することは、自然な紫外および赤外正則化をもたらすか？
• RQ3 一般化不確定性原理は、量子場理論の経路積分形式をどのように変形するか？
• RQ4 変形パラメータΔx₀およびΔp₀は、場理論における明示的カットオフの必要性をどのように置き換えたり排除したりするか？
• RQ5 このような変形された幾何構造が、量子場理論における正則化プログラムに与える影響は何か？

主な発見

• 最小長スケールΔx₀ > 0の存在は、経路積分における高運動量モードの抑制を通じて、内在的な紫外正則化をもたらす。
• 最小運動量スケールΔp₀ > 0の存在は、長波長モードの抑制を通じて、内在的な赤外正則化をもたらす。
• 修正された交換関係は、運動量および位置演算子の変形を引き起こし、経路積分における測度を変化させ、有限の積分を生じさせる。
• 明示的なカットオフや反項を必要とせず、自然な正則化メカニズムを提供する。
• この正則化は、量子重力および弦理論の原理と整合しており、時空構造と場理論の発散との間に深い関係があることを示唆する。
• 変形された幾何構造上での経路積分は、従来発散するとされる場理論的振幅に対しても有限の結果をもたらし、このアプローチの有効性を示している。