[論文レビュー] String-to-String Interpretations With Polynomial-Size Output (Track B: Automata, Logic, Semantics, and Theory of Programming)

Mikołaj Bojańczyk, Sandra Kiefer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

semigroups and automata theory参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、出力位置が入力位置のk-組によって定義される文字列-文字列MSO解釈が、ピーブル・トランスデューサーによって特徴付けられ、合成に関して閉じている多項式正則関数とちょうど等価であることを確立する。主な洞察は、文字列内のk-組の位置に対する順序を定義するMSO論理式が、論理的枠組みに明示的な制約がないにもかかわらず、暗黙的にスタックの規律を強制していることにある。

ABSTRACT

String-to-string MSO interpretations are like Courcelle's MSO transductions, except that a single output position can be represented using a tuple of input positions instead of just a single input position. In particular, the output length is polynomial in the input length, as opposed to MSO transductions, which have output of linear length. We show that string-to-string MSO interpretations are exactly the polyregular functions. The latter class has various characterizations, one of which is that it consists of the string-to-string functions recognized by pebble transducers. Our main result implies the surprising fact that string-to-string MSO interpretations are closed under composition.

研究の動機と目的

• 標準MSO変換を多項式サイズの出力へ拡張する論理的特徴付けのギャップを埋めるため、文字列-文字列MSO解釈を導入する。
• 出力サイズが多項式であるMSO解釈が合成に関して閉じているかどうかという未解決の問題を解消する。
• 文字列内のk-組の位置に対するMSO論理式に、ピーブル・オートマトンが要請するスタック規律が暗黙的に強制されることを示す。
• これまで自動機とプログラミングモデルによってのみ特徴付けられてきた多項式正則関数の論理的基盤を提供する。

提案手法

• 出力位置が入力位置のk-組によって定義される文字列-文字列MSO解釈を導入し、標準的なMSO変換を一般化する。
• 文字列内のk-組に対するMSO論理式の新しい特徴付けを用いて、それらがk-組の位置に暗黙的にスタック規律を強制することを示す。
• 積の支配性補題とブロック構造上のタイプに基づく解析を用いて、k-組に対するMSO論理式がピーブル・スタック動作に類似した階層的順序を誘導することを証明する。
• 合成性と連続性の議論を適用し、タイプに関する部分写像の像が定義可能な順序を保存することを示す。
• 量化子ランクとブロック距離のしきい値に基づく解析を用いて、タプル比較における支配的座標を同定する。
• k-組の構成をピーブル・オートマトンの状態としてシミュレートすることで、MSO解釈からピーブル・トランスデューサーへの翻訳を構築する。スタック規律の暗黙的性質を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 MSO変換を多項式サイズの出力へ拡張する論理的特徴付けは、多項式正則関数を完全に記述できるか？
• RQ2 k-組出力を持つ文字列-文字列MSO解釈は、タプルに対するネストされた量化の問題があるにもかかわらず、合成に関して閉じているか？
• RQ3 ピーブル・オートマトンが要請するスタック規律が、文字列内のk-組に対するMSO論理式によって暗黙的に強制可能か？
• RQ4 文字列-文字列MSO解釈のクラスは、標準的なMSO変換よりも厳密に表現力が強いか？
• RQ5 すべての多項式正則関数は、入力位置のk-組を用いたMSO解釈によって表現可能か？

主な発見

• 入力位置のk-組によって定義される文字列-文字列MSO解釈は、多項式正則関数とちょうど等価である。
• 表面的な障害があるにもかかわらず、MSO解釈は合成に関して閉じており、これは以前は多項式正則関数にのみ知られていた性質である。
• k-組の位置に対する線形順序を定義するMSO論理式は、タプルインデックスに暗黙的にスタック規律を強制し、ピーブル・オートマトンによるシミュレーションを可能にする。
• 文字列-文字列MSO解釈における任意の正則文字列言語の逆像も正則である。これは多項式正則関数の性質の結果である。
• 証明は、しきい値に基づくタイプ解析を用いて、タプル比較における支配的座標を同定する積の支配性補題に依存する。
• 直接的な論理式の置換を避けるために、連続性とタイプ保存性を介して定義可能な順序を保つ非自明な暗黙的翻訳を用いる。