[論文レビュー] String topology for spheres

Luc Menichi, Gérald Gaudens|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{F}_2$ 上の球面 $S^d$ ($d \geq 1$) の自由ループ空間のシフトされたホモロジー $\mathbb{H}_*(LS^d;\mathbb{F}_2)$ におけるバタリン＝ヴィルコヴィチ（BV）代数構造を計算する。$\mathbb{H}_*(LS^2;\mathbb{F}_2)$ の基になるゲルステンハーバー代数と $HH^*(H^*(S^2); H^*(S^2))$ が同型である一方で、それらのBV構造は同型ではないことを示し、自然な予想に反する。主な技術的成果は、$H_*(\Omega^2S^3;\mathbb{F}_2)$ をBV代数として計算し、$\Delta(v_1) = v_1 * v_1$ が非自明であることを証明することにある。

ABSTRACT

Let $M$ be a compact oriented $d$-dimensional smooth manifold. Chas and Sullivan have defined a structure of Batalin-Vilkovisky algebra on $\mathbb{H}_*(LM)$. Extending work of Cohen, Jones and Yan, we compute this Batalin-Vilkovisky algebra structure when $M$ is a sphere $S^d$, $d\geq 1$. In particular, we show that $\mathbb{H}_*(LS^2;\mathbb{F}_2)$ and the Hochschild cohomology $HH^{*}(H^*(S^2);H^*(S^2))$ are surprisingly not isomorphic as Batalin-Vilkovisky algebras, although we prove that, as expected, the underlying Gerstenhaber algebras are isomorphic. The proof requires the knowledge of the Batalin-Vilkovisky algebra $H_*(Ω^2 S^3;\mathbb{F}_2)$ that we compute in the Appendix.

研究の動機と目的

• 球面 $S^d$ ($d \geq 1$) に対して、$\mathbb{H}_*(LS^d;\mathbb{F}_2)$ におけるバタリン＝ヴィルコヴィチ（BV）代数構造を計算すること。
• $M$ が球面であるとき、$\mathbb{H}_*(LM)$ と $HH^*(H^*(M); H^*(M))$ がBV代数として同型であるという予想を検証すること。
• $\mathbb{H}_*(LS^2;\mathbb{F}_2)$ と $HH^*(H^*(S^2); H^*(S^2))$ の間のゲルステンハーバー代数の同型が、BV代数の同型に拡張されるかどうかを解明すること。
• $H_*(\Omega^2S^3;\mathbb{F}_2)$ におけるBV代数構造を計算すること。これは主結果に不可欠である。

提案手法

• チャス＝スールーリーのループ積と、トム＝ポンティャーギン構成によるギジン写像を用いて、$\mathbb{H}_*(LM)$ 上のBV作用素 $\Delta$ を定義する。
• $\Delta x = x \circ (v_1 * [1])$ を満たすように、ホモロジーにおけるポンティャーギン積と合成写像を用いて、$x \in H_*(\Omega^2X;\mathbb{F}_2)$ に対して表す。ここで $v_1$ は $H_1(\Omega^2_0S^2;\mathbb{F}_2)$ を生成する。
• $\Omega^2\eta: \Omega^2S^3 \simeq \Omega^2_0S^2$ のホモトピー同値性を用いて、$H_*(\Omega^2S^3;\mathbb{F}_2)$ におけるBV構造を $H_*(\Omega^2_0S^2;\mathbb{F}_2)$ に移す。
• ダイヤー＝ラシュォフ作用素と、ポisson関係式 $\{a,b\} = \Delta(ab) - \Delta(a)b - a\Delta(b)$ を用いて、$H_*(\Omega^2S^2;\mathbb{F}_2)$ 内で $\Delta(v_1)$ を計算する。
• $H_1(\Theta)[S^1] = v_1 * [1]$ であるという事実を用い、$\Omega^2S^2$ 上の $S^1$-作用に対応する $\Delta x = x \circ (v_1 * [1])$ を証明する。
• $H_*(\Omega^2S^3;\mathbb{F}_2)$ 内で $\Delta(u_1) = u_1 * u_1$ を示し、$u_1$ が $H_1(\Omega^2S^3;\mathbb{F}_2)$ を生成することから、$\Delta$ が非自明であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BV代数構造としての $\mathbb{H}_*(LS^2;\mathbb{F}_2)$ と $HH^*(H^*(S^2); H^*(S^2))$ は同型であるか？
• RQ2 $\mathbb{H}_*(LS^2;\mathbb{F}_2)$ と $HH^*(H^*(S^2); H^*(S^2))$ の間のゲルステンハーバー代数の同型は、BV代数の同型に拡張可能か？
• RQ3 $H_*(\Omega^2S^3;\mathbb{F}_2)$ のBV代数構造は何か？ そして $\mathbb{H}_*(LS^2;\mathbb{F}_2)$ とどのように関係するか？
• RQ4 $H_*(\Omega^2S^3;\mathbb{F}_2)$ 上のBV作用素 $\Delta$ は非自明か？ また、生成子 $u_1$ に対してどのように作用するか？
• RQ5 $\Omega^2S^2$ 上の $S^1$-作用を用いて、$\Delta$ を $v_1 * [1]$ との合成で表すことができるか？

主な発見

• $\mathbb{H}_*(LS^2;\mathbb{F}_2)$ のBV代数構造と $HH^*(H^*(S^2); H^*(S^2))$ は、ゲルステンハーバー代数が同型であるにもかかわらず、BV代数として同型ではない。
• $H_*(\Omega^2S^3;\mathbb{F}_2)$ 上のBV作用素 $\Delta$ は非自明であり、生成子 $u_1 \in H_1(\Omega^2S^3;\mathbb{F}_2)$ に対して $\Delta(u_1) = u_1 * u_1$ が成り立つ。
• $\Omega^2\eta: \Omega^2S^3 \to \Omega^2_0S^2$ はホモトピー同値を誘導するため、$H_*(\Omega^2S^3;\mathbb{F}_2)$ と $H_*(\Omega^2_0S^2;\mathbb{F}_2)$ はBV代数として同型である。
• $H_*(\Omega^2S^2;\mathbb{F}_2)$ 上のBV作用素は $\Delta x = x \circ (v_1 * [1])$ を満たす。ここで $v_1$ は $H_1(\Omega^2_0S^2;\mathbb{F}_2)$ を生成し、$[1]$ は $H_0(\Omega^2_1S^2;\mathbb{F}_2)$ を生成する。
• $H_*(\Omega^2S^2;\mathbb{F}_2)$ 内で $\Delta(v_1) = v_1 * v_1$ が成り立つことは、BV作用素の非自明性を確認するものであり、主な非同型結果の根拠となっている。
• 本結果により、$M = S^2$ のとき、$\mathbb{H}_*(LM)$ と $HH^*(H^*(M); H^*(M))$ が$\mathbb{F}_2$ 上でBV代数として同型であるという自然な予想が、ゲルステンハーバー構造が一致するにもかかわらず成立しないことが示された。