[論文レビュー] String topology of Poincare duality groups

Hossein Abbaspour, Ralph L. Cohen+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、ポincare双対性群の中心化子の巾付きホモロジーに、代数的・交線論的ストリングトポロジー積を構成し、LG = ⊕[G] H*+n(Cg) 上に巾付きで結合的かつ可換な代数構造を定義する。この構成は、ポincare双対性と二重コセット分解を用い、中心化子部分群における交線ペアリングを通じて積を定義する。G が閉・球面的・向き付け可能 n 次元多様体の基本群であるとき、この積は自由ループ空間ホモロジー H*(LM) におけるチャス＝サリヴァンのループ積に正確に対応する。

ABSTRACT

Let G be a Poincare duality group of dimension n. For a given element g in G, let C_g denote its centralizer subgroup. Let L_G be the graded abelian group defined by (L_G)_p = oplus_{[g]}H_{p+n}(C_g) where the sum is taken over conjugacy classes of elements in G. In this paper we construct a multiplication on L_G directly in terms of intersection products on the centralizers. This multiplication makes L_G a graded, associative, commutative algebra. When G is the fundamental group of an aspherical, closed oriented n manifold M, then (L_G)_* = H_{*+n}(LM), where LM is the free loop space of M. We show that the product on L_G corresponds to the string topology loop product on H_*(LM) defined by Chas and Sullivan.

研究の動機と目的

• . 本稿の目的は、微分位相幾何学に依存せずに、Poincaré双対性群に対してストリングトポロジー積を代数的に定義することにある。
• Poincaré双対性群の純粋群論的設定へ、チャス＝サリヴァンのループ積構成を一般化することを目的とする。
• 中心化子における交線ペアリングを用いた、直接的なホモロジー論的積の構成を確立することを目的とする。
• この代数的積が、G が球面的閉じた向き付け可能な n 次元多様体の基本群である場合に、幾何的ストリングトポロジー積に対応することを示す。
• ストリングトポロジー代数の群ホモロジー的モデルを、群構造に内在的に定義することを目的とする。

提案手法

• . 構成では、ポincare双対性を用いて交線ペアリングを定義する：部分群 K, H < G に対して、Hp(K; Z) ⊕ Hq(H; Z) から ⊕[g] Hp+q-n(K ∩ gHg^{-1}) への写像を定める。
• ペアリングは、群コホモロジーにおけるカップ積を経て、ポincare双対性によって双対化され、二重コセット公式による G-加群同型と合成される。
• 中心化子 Cα と Cβ に対して、積は μ = j* ∘ ∩: Hp+n(Cα) ⊕ Hq+n(Cβ) → ⊕g H*+n(Cα ∩ gCβg^{-1}) として定義される。
• 写像 j* は包含写像 Cα ∩ gCβg^{-1} → Cαgβg^{-1} によって誘導され、交線を積要素の共役に同定する。
• 積の結合的・可換的・単位的性質は、定義の直接的検証と二重コセット和への G-可換的対合の使用により示される。
• 幾何的 umkehr 写像とポントリャーギン＝トホム構成による普遍被覆上の比較を通じて、Chas-Sullivan積との対応関係が確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 . ストリングトポロジーのループ積は、Poincaré双対性群の群ホモロジーの観点から、どのように完全に代数的に定義できるか？
• RQ2 この積の下で、LG = ⊕[G] H*+n(Cg) の巾付きホモロジーの正確な代数的構造は何か？
• RQ3 G が球面的・閉じた向き付け可能な n 次元多様体 M の基本群であるとき、この代数的積は幾何的チャス＝サリヴァンのループ積に対応するか？
• RQ4 中心化子における交線ペアリングは、自由ループ空間におけるループの幾何的交線とどのように関係するか？
• RQ5 微分位相幾何学を用いずに、群コホモロジーとポincare双対性からストリングトポロジー積を再構成できるか？

主な発見

• . 本稿は、中心化子における交線ペアリングを用いて、LG = ⊕[G] H*+n(Cg) 上に、well-defined な巾付きで結合的かつ可換な代数的構造を構成した。
• 積は、ポincare双対性・カップ積・二重コセット同型の合成を通じて定義され、共役中心化子の交線のホモロジーへの写像として得られる。
• 積は、二重コセット和への G-可換的対合の使用により、符号 (−1)^pq を除いて可換であることが示された。
• 代数の単位元は、(LG)0 に含まれる基本類 z ∈ Hn(G) で与えられる。
• G = ̀π1(M) が球面的・閉じた向き付け可能な n 次元多様体 M の基本群であるとき、代数 (LG)* は再びじょうに H*(LM) に同型である。
• 主結果（定理6）は、(LG)* 上の代数的積 μ が、H*(LM) 上のチャス＝サリヴァンのループ積に正確に対応することを示した。これは、umkehr 写像とトホム同型の関係を示す関係図式の可換性によって証明された。