[論文レビュー] Strings and the stable cohomology of mapping class groups

Ulrike Tillmann|ArXiv.org|Apr 21, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、ストリング理論と写像類群の安定コhomologyの間のホモトピー論的枠組みを確立し、安定コhomologyがタウトロジカルクラスの多項式代数に同型であることを証明する。無限ループ空間理論とストリングの圏を用いて、ムーディの予想を解明し、安定コhomologyを無限ループ空間のコhomologyとして特定し、無限個の捩れクラスを検出するとともに、タウトロジカルクラスのp進可除性を同定する。

ABSTRACT

Twenty years ago, Mumford initiated the systematic study of the cohomology ring of moduli spaces of Riemann surfaces. Around the same time, Harer proved that the homology of the mapping class groups of oriented surfaces is independent of the genus in low degrees, increasing with the genus. The (co)homology of mapping class groups thus stabelizes. At least rationally, the mapping class groups have the same (co)homology as the corresponding moduli spaces. This prompted Mumford to conjecture that the stable rational cohomology of moduli spaces is generated by certain tautological classes that he defines. Much of the recent interest in this subject is motivated by mathematical physics and, in particular, by string theory. The study of the category of strings led to the discovery of an infinite loop space, the cohomology of which is the stable cohomology of the mapping class groups. We explain here a homotopy theoretic approach to Mumford's conjecture based on this fact. As byproducts infinite families of torsion classes in the stable cohomology are detected, and the divisibility of the tautological classes is determined. An analysis of the category of strings in a background space leads to the formulization of a parametrized version of Mumford's conjecture. The paper is chiefly a summary of the author's work and her collaboration with Ib Madsen. Earlier this year Madsen and Weiss announced a solution of Mumford's conjecture. We touch on some of the consequences and the ideas behind this most exciting new developement.

研究の動機と目的

• リーマン面のモジュライ空間の安定有理コhomologyに関するムーディの予想のホモトピー論的解釈を提供すること。
• 空間 X 内のストリングの圏と写像類群の安定コhomologyの間の関係を確立すること。
• 写像類群の安定コhomologyに無限個の捩れクラスの族を検出すること。
• 無限ループ空間理論とアダムズ作用素を用いて、タウトロジカルクラス κ_i の p進可除性を特定すること。
• バックグラウンド空間におけるストリングの圏を用いて、ムーディの予想のパラメータ化されたバージョンを定式化すること。

提案手法

• 空間 X 内のストリングの圏を、微分同相群の作用の下での表面から X への写像のホモトピー軌道空間として構成する。
• 安定写像類群の分類空間 BΓ⁺_∞ を無限ループ空間とし、Th(−L) のテーラー・スペンクトルと関連付ける。
• クイレンのプラス・コンストラクションを用いて分類空間を安定化し、有理コhomologyを保存する。
• ギジン写像とファイバー統合を用いて、H^{2i}(BΓ_∞; ℤ) 内のタウトロジカルクラス κ_i = ∫_F e^{i+1} を定義する。
• アダムズ作用素 ψ^k と p進完備化を用いて、奇素数における安定コhomologyの構造を分析する。
• フィリップス＝グロモフの h-原理を用いて、閉多様体上の準微分写像的構造を、開拡張を介して微分写像に変形する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュライ空間の安定有理コhomologyは、ムーディのタウトロジカルクラスによって生成されるか？
• RQ2 写像類群の安定コhomologyは、無限ループ空間のコhomologyとして実現可能か？
• RQ3 特に κ_i の可除性の観点から、安定コhomologyの捩れ素数における構造はいかなるものか？
• RQ4 空間 X 内のストリングの圏は、写像類群の安定コhomologyとどのように関係するか？
• RQ5 バックグラウンド空間におけるストリングの圏を用いて、ムーディの予想のパラメータ化されたバージョンを定式化し、証明可能か？

主な発見

• 写像類群 BΓ_∞ の安定コhomologyは、多項式環 ℚ[κ₁, κ₂, …] に同型であり、ムーディの予想が有理的にお墨付きであることを確認する。
• 写像 α: ℤ × BΓ⁺_∞ → Ω^∞Th(−L) はホモトピー同値であり、写像類群とテーラー・スペンクトルの間の深い関係を確立する。
• 奇素数 p に対して、Q(ℙ^∞) 上のダイヤー＝ラシフ作用素を用いて、H_*(BΓ_∞; ℤ) 内に無限個の p-捩れクラスの族が検出される。
• 奇素数 p に対して、i ≡ −1 mod (p−1) ならば、タウトロジカルクラス κ_i は p^{1+ν_p(i+1)} で割り切れ、そうでなければ割り切れない。
• p進完備化 (BΓ⁺_∞)^∧_p は BU^∧_p × V_p に分解され、BΓ_∞ の有理コhomology に ℤ_p[c₁, c₂, …] に同型な分解和成分が含まれることが示される。
• 写像 α の幾何的定式化としてのコボルディズム同値性により、任意のペア (π: E → M, ˆπ) が微分写像にコボルディズム同値であることが確認され、マドセン＝ウイスの定理の根拠が裏付けられる。